Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Συντονιστής: Demetres

luffatos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 13, 2019 9:00 pm

Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από luffatos » Κυρ Οκτ 13, 2019 9:13 pm

Γεια σας! Καλώς σας βρήκα!
Θα ήθελα μια υπόδειξη (ή λύση) σε ένα ερώτημα.

Αν \mathbb{F}_{q} πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής p, δείξτε ότι για κάποιο f\in \mathbb{F}_{q}[X], ισχύει ότι f'=0 αν και μόνο αν το f είναι p-στή δύναμη κάποιου πολυωνύμου του \mathbb{F}_{q}[X].

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 14, 2019 8:05 am

luffatos έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 9:13 pm
Γεια σας! Καλώς σας βρήκα!
Θα ήθελα μια υπόδειξη (ή λύση) σε ένα ερώτημα.

Αν \mathbb{F}_{q} πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής p, δείξτε ότι για κάποιο f\in \mathbb{F}_{q}[X], ισχύει ότι f'=0 αν και μόνο αν το f είναι p-στή δύναμη κάποιου πολυωνύμου του \mathbb{F}_{q}[X].

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Καλώς όρισες.
Δίνω μια υπόδειξη.
Απέδειξε πρώτα ότι
1)Για f(x),g(x)\in \mathbb{F}_{q}[X]
είναι
(f(x)+g(x))^{p}=(f(x))^{p}+(g(x))^{p}

2)Για κάθε b\in F υπάρχει a\in F με a^{p}=b.


luffatos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 13, 2019 9:00 pm

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από luffatos » Δευ Οκτ 14, 2019 1:32 pm

Σκέφτηκα το εξής:
Η παράγωγος του πολυωνύμου f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots a_{1}x+a_{0} είναι f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots a_{1} .
f' = 0 αν και μόνο αν ka_{k}=0 για 1\leq k\leq n.
Αν το k είναι πολλαπλάσιο του p τότε ο όρος γίνεται 0 ανεξάρτητα από την τιμή του a_{k}.
Αν, όμως, το k δεν διαιρείται από το p τότε πρέπει a_{k}=0.
Άρα, ισοδύναμα, a_{k}=0 για όλα τα 1\leq k\leq n που δεν διαιρούνται από το p.

Η f μπορεί τώρα να γραφτεί στη μορφή:
\displaystyle{f(x)=a_{mp}x^{mp}+a_{(m-1)p}x^{(m-1)p}+\cdots +a_{p}x^{p}+a_{0}}

Εδώ άρχισα να κολλάω και δεν είμαι σίγουρος αν έχω κάνει σωστά βήματα.
Σκέφτομαι ότι q=p^{r} με r\geq 1.
Για κάθε u,v \in \mathbb{F}_{q} ισχύει u^{q}=u (ιδιότητα πεπερασμένων σωμάτων) και (u+v)^{p}=u^{p}+v^{p} (από διωνυμικό ανάπτυγμα και p|\binom{p}{i})
άρα πείραξα όλους τους όρους και πέταξα την δύναμη p απ' έξω, οπότε έγραψα την f(x) σαν (g(x))^{p} .

Δεν ξέρω αν είμαι σωστός γιατί κολλάω στην ιδιότητα u^{q}=u όπως επίσης κολλούσα και στο να αποδείξω το βήμα 2 που μου δείξατε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 14, 2019 3:26 pm

luffatos έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 1:32 pm
Σκέφτηκα το εξής:
Η παράγωγος του πολυωνύμου f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots a_{1}x+a_{0} είναι f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots a_{1} .
f' = 0 αν και μόνο αν ka_{k}=0 για 1\leq k\leq n.
Αν το k είναι πολλαπλάσιο του p τότε ο όρος γίνεται 0 ανεξάρτητα από την τιμή του a_{k}.
Αν, όμως, το k δεν διαιρείται από το p τότε πρέπει a_{k}=0.
Άρα, ισοδύναμα, a_{k}=0 για όλα τα 1\leq k\leq n που δεν διαιρούνται από το p.

Η f μπορεί τώρα να γραφτεί στη μορφή:
\displaystyle{f(x)=a_{mp}x^{mp}+a_{(m-1)p}x^{(m-1)p}+\cdots +a_{p}x^{p}+a_{0}}
Μεχρι εδώ όλα καλά.
Εδώ άρχισα να κολλάω και δεν είμαι σίγουρος αν έχω κάνει σωστά βήματα.
Σκέφτομαι ότι q=p^{r} με r\geq 1.
Για κάθε u,v \in \mathbb{F}_{q} ισχύει u^{q}=u (ιδιότητα πεπερασμένων σωμάτων) και (u+v)^{p}=u^{p}+v^{p} (από διωνυμικό ανάπτυγμα και p|\binom{p}{i})
άρα πείραξα όλους τους όρους και πέταξα την δύναμη p απ' έξω, οπότε έγραψα την f(x) σαν (g(x))^{p} .

Δεν ξέρω αν είμαι σωστός γιατί κολλάω στην ιδιότητα u^{q}=u όπως επίσης κολλούσα και στο να αποδείξω το βήμα 2 που μου δείξατε.
Το βήμα 2) μπορεί να αποδειχθεί ως εξης

1 τρόπος
Θεωρησε την h:F\rightarrow F
με h(a)=a^{p}
Απέδειξε ότι η h είναι 1-1οποτε αφού το F είναι πεπερασμένο είναι και επί

2 τρόπος
Είναι q=p^{r}
ετσι η
u^{q}=u
γράφεται
\displaystyle{u^{p^{r}}=u}
κλπ
Νομίζω ότι τώρα μπορείς να ολοκληρώσεις την απόδειξη.
Γράφτην για να είμαστε σίγουροι και για να μείνει για τους επόμενους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες