Εύρεση πεδίου ορισμού

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλησπέρα σε όλους , ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον συντονιστή του φακέλου και σε όσους γιόρταζαν χθες. Μια προσωπική κατασκευή :

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο $P(x)=x^{3}+ax+b ..x\in R$ όπου ισχύουν P(-7) > 0..P(7) < 0

και

.

Ζητούμενο : Να βρεθεί το (ευρύτερο δυνατό) πεδίο ορισμού της συνάρτησης

με τύπο $f(x)=\left ( \left bx+b\right )^{x}-ln\left ( P\left ( e \right )\cdot x \right )$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων , Γιώργος.

Ratio · #2

Διόρθωση

Χρησιμοποιώντας τη δοθείσα σχέση, βρίσκουμε εναλλακτική μορφή του πολυωνύμου P(x) = 8x^3+8ax-2a-1

$7^3+7a+b<0<-7^3-7a+b \Leftrightarrow a<-49$

Αλλά επειδή $P(-7)>0 \Leftrightarrow a<\frac{-1-14^3}{58}$
και $P(7)<0 \Leftrightarrow a<\frac{1-14^3}{54}$

Από τις τρεις σχέσεις $a<\frac{-1-14^3}{58} \Leftrightarrow a<-50$

$8b=-2a-1 \Leftrightarrow 8b>49\Leftrightarrow b>\frac{49}{8}$ , για a<-50

$P'(x)=3x^2+a <0 , x\in (-\sqrt{\frac{-a}{3}},\sqrt{\frac{-a}{3}})\Rightarrow P(x) \downarrow$
P''(x)=6x

$0<e<\sqrt{\frac{-a}{3}}<7$ για a<-50

Για $P(\sqrt{\frac{-a}{3}})=6\sqrt{\frac{-a}{3}} >0$ ( κριτήριο β' παραγώγου για λόγους οικονομίας ) , άρα στο σημείο αυτό το πολυώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο

Αν θεωρήσουμε το P(e)=e^3+8ae-2a-1=2(4e-2)a+e^3-1

πολυώνυμο του

, τότε $\lim_{a\to-\infty} P(a)=-\infty$
άρα
P(e)<0

Επομένως για την δοθείσα συνάρτηση θα πρέπει $\Leftrightarrow ={x\in R: x<0}$

και προσθήκη, $bx+b>0 \Leftrightarrow x>-1$

οπότε $A_{f}, x\in R: -1<x<0$

Στη διορθωμένη γραφική παράσταση, φαίνεται πολυώνυμο P(x), για a=-51

και

και μια αντίστοιχη f

]Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Χρήστο Ντάβο, για την επισήμανση

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ το μέλος Ratio για την ενασχόληση με το θέμα.
Όμως δεν βλέπω ορθή αιτιολόγηση της σχέσης $P\left ( e \right )< 0$ ..(πιθανόν το ίδιο να τονίζει και ο Χρήστος Ντάβος.)

Με την ευκαιρία ας διατυπώσω μια γενικότερη εκδοχή του προβλήματος :

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο $P(x)=x^{3}+ax+b ..x\in R$ με .

Αν υπάρχουν $x_{1}< 0$ με $P(x_{1})> 0$ και $x_{2}> e$ με $P(x_{2})< 0$ τότε

Να εξεταστεί αν το (ευρύτερο δυνατό) πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο $f(x)=\left ( \left bx+b\right )^{x}-ln\left ( P\left ( e \right )\cdot x \right )$ είναι το διάστημα $\left ( -1,0 \right )$
Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

Ratio · #4

Χωρίς συγκεκριμένα $x_{1},x_{2}$ λίγο δύσκολο να γίνει μελέτη, εκτός και αν τεθούν επιπλέον περιορισμοί για το

Έκανα μία πιο λεπτομερή προσέγγιση στην αρχική λύση , οπότε ως θεματοδότης ρίξτε της μια ματιά

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ. Αγαπητέ Ratio σ' ευχαριστώ και πάλι για τον νέο κόπο και την εν γένει αντιμετώπιση του θέματος.
Στη συνέχεια θα τονίσω τα απαραίτητα στοιχεία της προσπάθειας του Ratio με τις δέουσες διευκρινίσεις και προσθήκες

Δίνεται $P\left ( 7 \right )< 0< P\left ( -7 \right )\Rightarrow 7^{3}+7a+b< -7^{3}-7a+b\Rightarrow \boxed{a< -49}$ τότε και $8b=-2a-1> 0\Rightarrow \boxed{b> 0}$

$P\left ( e \right )=e^{3}+ea-\dfrac{2a+1}{8}\Rightarrow 8P\left ( e \right )=\left ( 8e-2 \right )a+8e^{3}-1=g\left ( a \right )$

Η $g(x)=\left ( 8e-2 \right )x+8e^{3}-1$ παριστάνει ευθεία με θετική κλίση (γν. αύξουσα ως συνάρτηση) άρα $a< -49\Rightarrow g\left ( a \right )< g\left ( -49 \right )< 0\Rightarrow \boxed{P(e)< 0}$

Για την συνάρτηση

πρέπει $bx+b> 0\Rightarrow x> -1$ αφού b>0

και $P\left ( e \right )x> 0\Rightarrow x< 0$ αφού P(e)<0

.Τελικά πεδίο ορισμού το $D_{f}=\left ( -1,0 \right )$

Γίνεται φανερό πως φτάσαμε στο ζητούμενο - κυρίως χάρις στην προσπάθεια του Ratio- μόνο με σχολική ύλη έως και τη Β' λυκείου.
Μένει πλέον να αντιμετωπιστεί το γενικότερο θέμα που έθεσα παραπάνω.
Φιλικά Γιώργος

Ratio · #6

Μα αυτή ήταν η αξία να λυθεί με σχολική ύλη.
Ένα άλλο ενδιαφέρον σημείο της άσκησης ( για μένα το πιο σημαντικό ) ήταν η αντικατάσταση που γινόταν στο P(x)

, έτσι ώστε να υπολογιστεί το πρόσημο του P(e)

όπου πλέον έπρεπε να αντιμετωπιστεί ως συνάρτηση του

Εύρεση πεδίου ορισμού

Εύρεση πεδίου ορισμού

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

Re: Εύρεση πεδίου ορισμού

Μέλη σε σύνδεση