Πιθανότητα

[Demetres]

παίκτες χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων. Δεδομένου ότι ο Γιάννης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιάννης και ο Ανδρέας να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Διαφορετική εκφώνηση αποφεύγοντας την ορολογία των πιθανοτήτων:

Έστω το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε παίκτες σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων ώστε ο Γιάννης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα. Έστω το πλήθος αυτών των διαχωρισμών για τους οποίους ο Γιάννης και ο Ανδρέας βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Να βρεθεί το .

[Λάμπρος Κατσάπας]

παίκτες χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων. Δεδομένου ότι ο Γιάννης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιάννης και ο Ανδρέας να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Διαφορετική εκφώνηση αποφεύγοντας την ορολογία των πιθανοτήτων:

Έστω το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε παίκτες σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων ώστε ο Γιάννης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα. Έστω το πλήθος αυτών των διαχωρισμών για τους οποίους ο Γιάννης και ο Ανδρέας βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Να βρεθεί το .

Έστω παίκτες.

Θεωρούμε τις ομάδες κελιά όπως στο παρακάτω σχήμα. Κάθε κελί έχει θέσεις. Θα υπολογίσουμε πρώτα το

(κατά τον υπολογισμό του προκύπτει και το ).

Στο 1ο και στο 2ο κελί βάζουμε τον Γιάννη και τον Βασίλη αντίστοιχα.

A:|Γ_ _..._| ( κενές θέσεις )
B:|Β_ _..._| ( κενές θέσεις )
C:|_ _ ..._ _| ( κενές θέσεις )

Διαμερίζουμε το σύνολο με τις δυνατές καταστάσεις σε δύο ξένα υποσύνολα (οι δύο παρακάτω περιπτώσεις).

1η περίπτωση: Ο Αντρέας μπαίνει στο κελί Α.

Έχουν απομείνει τώρα παίκτες. Για να καλύψουμε το πρώτο κελί έχουμε τρόπους.

Για να καλύψουμε το δεύτερο κελί έχουμε τρόπους. Από την

πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε τελικά τρόπους για να καλυφθούν τα δύο

πρώτα κελιά. Για κάθε έναν από αυτούς το τρίτο κελί είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

2η περίπτωση: Ο Αντρέας μπαίνει στο κελί C.

Έχουν απομείνει παίκτες. Για να καλύψουμε το πρώτο κελί έχουμε τρόπους.

Για να καλύψουμε το δεύτερο κελί έχουμε τρόπους. Από την

πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε τελικά τρόπους για να καλυφθούν τα δύο

πρώτα κελιά. Για κάθε έναν από αυτούς το τρίτο κελί είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Αθροίζοντας τα στοιχεία των δύο παραπάνω ξένων συνόλων (προσθετική αρχή) παίρνουμε τελικά ότι

.

Το είναι φανερό από την 1η περίπτωση ότι είναι .

Επομένως

Για δηλαδή παίρνουμε

Edit: Διόρθωση μετά το σχόλιο του κ.Δημήτρη παρακάτω.

[Demetres]

Λάμπρο, έχω την εντύπωση ότι δεν έλαβες υπόψη ότι ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Λάμπρο, έχω την εντύπωση ότι δεν έλαβες υπόψη ότι ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα.

Πολύ σωστά. Θα το διορθώσω. Ευχαριστώ.

[Demetres]

Σωστά. Μια πιο σύντομη απόδειξη είναι η εξής:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ο Ανδρέας είναι στην πρώτη ομάδα και ο Βασίλης στην Δεύτερη. Τότε ο Γιάννης δεν μπορεί να είναι στην δεύτερη. Άρα υπάρχουν κενές θέσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται. στην πρώτη ομάδα και στην τρίτη. Άρα η πιθανότητα να βρεθεί στην πρώτη ομάδα είναι .