Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.



Πρόβλημα 1. Ο μικρός Κώστας έχει πέντε κάρτες με τα ψηφία και . Βοηθήστε τον να σχηματίσει με αυτές τις κάρτες δυο αριθμούς, τριψήφιο και διψήφιο έτσι, ώστε ο πρώτος να διαιρείται με τον δεύτερο.


Πρόβλημα 2. Σε μια πόλη υπάρχει μόνο μια γραμμή τραμ. Η γραμμή αυτή είναι κυκλική (δακτύλιος) και το τραμ κινείται πάνω σε αυτή και προς τις δυο κατευθύνσεις. Πάνω στο δακτύλιο υπάρχουν οι στάσεις Τσίρκο, Πάρκο και Ζωολογικός Κήπος. Από το Πάρκο μέχρι το Ζωολογικό Κήπο μέσο Τσίρκου η διαδρομή με το τραμ είναι τρεις φορές μακρύτερη από αυτής που δεν διέρχεται από το Τσίρκο. Από το Τσίρκο μέχρι το Ζωολογικό Κήπο η διαδρομή μέσο του Πάρκου είναι δυο φορές μικρότερη από αυτής που δεν διέρχεται από το Πάρκο. Ποια διαδρομή από το Πάρκο στο Τσίρκο, μέσο του Ζωολογικού Κήπου ή εκτός, είναι μικρότερη και κατά πόσες φορές;


Πρόβλημα 3. Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς διαμερίστηκε σε ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς (βλέπε σχήμα). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός τριγώνων που πρέπει να χρωματιστούν, ώστε όλα τα σημεία τομής των γραμμών (συμπεριλαμβανομένου και αυτών που βρίσκονται στο περίγραμμα) να αποτελούν κορυφή τουλάχιστον ενός χρωματιστού τριγώνου; Φέρτε παράδειγμα και αποδείξτε ότι λιγότερα τρίγωνα δεν μπορούν να χρωματιστούν.

mm0_2016_class6_pr3.png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 1696 φορές

Πρόβλημα 4. Η Άννα θέλησε να γράψει σε κάθε κελί ενός πίνακα από ένα ψηφίο με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε ψηφίο να εμφανίζεται ακριβώς σε τέσσερεις σειρές. (Σειρές εδώ εννοούμε τις γραμμές καθώς και τις στήλες του πίνακα). Να αποδείξετε ότι δεν θα τα καταφέρει.


Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και (διαφορετικά γράμματα τα αντικατέστησε με διαφορετικούς αριθμούς). Αρχικά έγραψε με ψηφία τον ίδιο του τον εαυτό: ΡΟΒΟΤ . Ψηφιοποιώντας τις λέξεις ΚΡΟΚΟΔΙΛ και ΒΕΓΕΜΟΤ, με έκπληξη παρατήρησε, ότι προέκυψαν ακριβώς ίδιοι αριθμοί! Ύστερα το ρομπότ έγραψε την λέξη ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ. Γράψτε τον αριθμό, που του προέκυψε. Εξηγήστε την απάντησή σας.

(*) Σημείωση: Δεν «ελληνοποίησα» το πρόβλημα. Δεν μου ήταν προφανές το πως, χωρίς να αλλάξει η συνοχή του και η δυσκολία του και απλά άλλαξα τα γράμματα από το κυριλλικό στο ελληνικό αλφάβητο.
ΡΟΒΟΤ = ρομπότ
ΚΡΟΚΟΔΙΛ = κροκόδειλος (κρακαντίλ)
ΒΕΓΕΜΟΤ = ιπποπόταμος (μπεγκεμότ)
ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ = μαθηματικά

Πρόβλημα 6. Σαράντα παιδιά του συλλόγου «Αργοναύτες» χορεύουν Τικ (κλειστός κυκλικός χορός). Από αυτά, κρατάνε το χέρι αγοριού και το χέρι κοριτσιού. Πόσα κορίτσια έχει ο χορός;


Πηγή

[nikkru]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.
Πρόβλημα 6. Σαράντα παιδιά του συλλόγου «Αργοναύτες» χορεύουν Τικ (κλειστός κυκλικός χορός). Από αυτά, κρατάνε το χέρι αγοριού και το χέρι κοριτσιού. Πόσα κορίτσια έχει ο χορός;
Πηγή

Από τα παιδιά που συμμετέχουν στο χορό, αν τα μισά είναι αγόρια και τα άλλα μισά κορίτσια, τότε όσα παιδιά κρατάνε χέρι αγοριού άλλα τόσα κρατάνε χέρι κοριτσιού.

Αν αντικαταστήσουμε ένα αγόρι με κορίτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) Αν εκατέρωθεν του παιδιού που αλλάξαμε βρίσκονται παιδιά του ίδιου φύλου, τότε
ή ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι κοριτσιού αυξάνει κατά δύο και ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι αγοριού μένει ο ίδιος
ή ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι κοριτσιού μένει ο ίδιος και ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι αγοριού ελαττώνεται κατά δύο.

β) Αν εκατέρωθεν του παιδιού που αλλάξαμε βρίσκεται ένα αγόρι και ένα κορίτσι, τότε ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι κοριτσιού αυξάνει
κατά ένα και ο αριθμός των παιδιών που κρατάνε το χέρι αγοριού ελαττώνεται κατά ένα.

Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση που αντικαθιστούμε ένα αγόρι με κορίτσι αυξάνεται κατά δύο η διαφορά των παιδιών που κρατάνε το χέρι αγοριού και των παιδιών που κρατάνε το χέρι κοριτσιού, έτσι στην περίπτωση μας αντικαταστήσαμε τέσσερα αγόρια με κορίτσια αφού η διαφορά είναι , επομένως συμμετέχουν κορίτσια στο χορό.

[nikkru]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.

Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και (διαφορετικά γράμματα τα αντικατέστησε με διαφορετικούς αριθμούς). Αρχικά έγραψε με ψηφία τον ίδιο του τον εαυτό: ΡΟΒΟΤ . Ψηφιοποιώντας τις λέξεις ΚΡΟΚΟΔΙΛ και ΒΕΓΕΜΟΤ, με έκπληξη παρατήρησε, ότι προέκυψαν ακριβώς ίδιοι αριθμοί! Ύστερα το ρομπότ έγραψε την λέξη ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ. Γράψτε τον αριθμό, που του προέκυψε. Εξηγήστε την απάντησή σας.

(*) Σημείωση: Δεν «ελληνοποίησα» το πρόβλημα. Δεν μου ήταν προφανές το πως, χωρίς να αλλάξει η συνοχή του και η δυσκολία του και απλά άλλαξα τα γράμματα από το κυριλλικό στο ελληνικό αλφάβητο.
ΡΟΒΟΤ = ρομπότ
ΚΡΟΚΟΔΙΛ = κροκόδειλος (κρακαντίλ)
ΒΕΓΕΜΟΤ = ιπποπόταμος (μπεγκεμότ)
ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ = μαθηματικά

Αφού "Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και "

οι αριθμοί που μπορεί να φτιάξει με αυτά τα δεδομένα είναι όσα και τα γράμματα που χρησιμοποιούνται στις λέξεις που κωδικοποιεί.

Χρησιμοποιεί μόνο διψήφιους και μονοψήφιους αριθμούς και αφού ΡΟΒΟΤ , είναι: .

Τότε, ΚΡΟΚΟΔΙΛ=K3112K12ΔΙΛ=13ΕΓΕΜ1233=ΒΕΓΕΜΟΤ. Κάθε γράμμα αντιστοιχεί σε διαφορετικό αριθμό, άρα: Κ=1,Δ=21,Ι=23,Λ=3 και Ε=11,Γ=2,Μ=22 .

Από τα παραπάνω είναι: ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ=2232331122323323132.

[Demetres]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.

Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και (διαφορετικά γράμματα τα αντικατέστησε με διαφορετικούς αριθμούς). Αρχικά έγραψε με ψηφία τον ίδιο του τον εαυτό: ΡΟΒΟΤ . Ψηφιοποιώντας τις λέξεις ΚΡΟΚΟΔΙΛ και ΒΕΓΕΜΟΤ, με έκπληξη παρατήρησε, ότι προέκυψαν ακριβώς ίδιοι αριθμοί! Ύστερα το ρομπότ έγραψε την λέξη ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ. Γράψτε τον αριθμό, που του προέκυψε. Εξηγήστε την απάντησή σας.

(*) Σημείωση: Δεν «ελληνοποίησα» το πρόβλημα. Δεν μου ήταν προφανές το πως, χωρίς να αλλάξει η συνοχή του και η δυσκολία του και απλά άλλαξα τα γράμματα από το κυριλλικό στο ελληνικό αλφάβητο.
ΡΟΒΟΤ = ρομπότ
ΚΡΟΚΟΔΙΛ = κροκόδειλος (κρακαντίλ)
ΒΕΓΕΜΟΤ = ιπποπόταμος (μπεγκεμότ)
ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ = μαθηματικά

Αφού "Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και "

οι αριθμοί που μπορεί να φτιάξει με αυτά τα δεδομένα είναι όσα και τα γράμματα που χρησιμοποιούνται στις λέξεις που κωδικοποιεί.

Χρησιμοποιεί μόνο διψήφιους και μονοψήφιους αριθμούς και αφού ΡΟΒΟΤ , είναι: .

Τότε, ΚΡΟΚΟΔΙΛ=K3112K12ΔΙΛ=13ΕΓΕΜ1233=ΒΕΓΕΜΟΤ. Κάθε γράμμα αντιστοιχεί σε διαφορετικό αριθμό, άρα: Κ=1,Δ=21,Ι=23,Λ=3 και Ε=11,Γ=2,Μ=22 .

Από τα παραπάνω είναι: ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ=2232331122323323132.

Για πλήρη λύση νομίζω χρειάζονται κάποιες επιπλέον δικαιολογήσεις.

Αρχικά, επειδή για το ΡΟΒΟΤ χρησιμοποίησε ψηφία, κάθε γράμμα αντιστοιχεί σε διψήφιο αριθμό από όπου παίρνουμε .

Κοιτάζουμε τώρα το ΚΡΟΚΟΔΙΛ=K3112K12ΔΙΛ=13ΕΓΕΜ1233=ΒΕΓΕΜΟΤ. Το πρέπει να ισούται είτε με είτε με . Όμως έχουμε άρα πρέπει .

Παίρνουμε τώρα 13112112ΔΙΛ=13ΕΓΕΜ1233 οπότε 112112ΔΙΛ=ΕΓΕΜ1233. Το θα ισούται είτε με είτε με . Όμως άρα και καταλήγουμε στο 2112ΔΙΛ=Γ11Μ1233.

Για το δεν μπορούμε ακόμη να αποφασίσουμε (μπορεί να είναι και και ) μπορούμε όμως για το . Πρέπει ή . Όμως άρα .

Άρα 2112ΔΙ=Γ11Μ123. Από εδώ έχουμε ή . Όμως άρα .

Άρα 2112Δ=Γ11Μ1. Πάμε τώρα στο Δ που πρέπει να ισούται με 1,11,21 ή 31. Το μόνο που είναι ελεύθερο είναι το 21, άρα

Τώρα έχουμε 21122=Γ11Μ. Το δεν μπορεί να είναι ίσο με άρα έχουμε και άρα και . Επίσης το δεν έχει ακόμη χρησιμοποιηθεί και άρα αναγκαστικά είναι . Επομένως ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ=2232331122323323132.

[Demetres]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.


Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία και (διαφορετικά γράμματα τα αντικατέστησε με διαφορετικούς αριθμούς). Αρχικά έγραψε με ψηφία τον ίδιο του τον εαυτό: ΡΟΒΟΤ . Ψηφιοποιώντας τις λέξεις ΚΡΟΚΟΔΙΛ και ΒΕΓΕΜΟΤ, με έκπληξη παρατήρησε, ότι προέκυψαν ακριβώς ίδιοι αριθμοί! Ύστερα το ρομπότ έγραψε την λέξη ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ. Γράψτε τον αριθμό, που του προέκυψε. Εξηγήστε την απάντησή σας.

(*) Σημείωση: Δεν «ελληνοποίησα» το πρόβλημα. Δεν μου ήταν προφανές το πως, χωρίς να αλλάξει η συνοχή του και η δυσκολία του και απλά άλλαξα τα γράμματα από το κυριλλικό στο ελληνικό αλφάβητο.
ΡΟΒΟΤ = ρομπότ
ΚΡΟΚΟΔΙΛ = κροκόδειλος (κρακαντίλ)
ΒΕΓΕΜΟΤ = ιπποπόταμος (μπεγκεμότ)
ΜΑΤΕΜΑΤΙΚΑ = μαθηματικά

Ας το ελληνοποιήσουμε λοιπόν.

Δίνεται ότι ΥΓΡΟ = 33133112 και ότι ΠΡΟΠΟΔΕΣ = ΓΑΛΑΝΟΥ. Να βρείτε τον αριθμό που προέκυψε όταν έγραψε την λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ. [Η πρώτη λέξη δεν είναι πέντε γραμμάτων αλλά δεν παίζει τόσο ρόλο. Αυτό που ενδιαφέρει είναι να έχει ακριβώς τέσσερα διαφορετικά γράμματα τα οποία να βρίσκονται στις κατάλληλες θέσεις των άλλων δύο λέξεων.]

[kfd]

21 διαιρεί 543