Ομοκατακόρυφα

KARKAR · #1

: Ομοκατακόρυφα.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Πάνω στην διάμετρο

, κύκλου

, βρείτε σημείο

, ώστε αν οι εφαπτόμενες από το

προς τον κύκλο (K,KB)

τέμνουν τον αρχικό στα T,S

, τα

να είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 27, 2018 1:52 pm
Ομοκατακόρυφα.pngΠάνω στην διάμετρο , κύκλου , βρείτε σημείο , ώστε αν οι εφαπτόμενες από το

προς τον κύκλο τέμνουν τον αρχικό στα , τα να είναι συνευθειακά .

: Ομοκατακόρυφα.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

$\boxed{AK=2r-x}$ (1)

$\displaystyle A{K^2} = AH \cdot AT,\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AT}}$ και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη: $\displaystyle \frac{{A{K^3}}}{{2r}} = A{H^2} = AE \cdot 2r\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle {(2r - x)^3} = 4{r^2}(2r - 2x) \Leftrightarrow x({x^2} - 6rx + 4{r^2}) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 < x < r}$ $\boxed{x = (3 - \sqrt 5 )r}$

Altrian · #3

Καλησπέρα,
Εστω

η ζητούμενη απόσταση OK , $\varphi$ η γωνία KBT και P το σημείο επαφής του μικρού κύκλου με την AT . Εστω r η ακτίνα του μεγάλου κύκλου, οπότε η ακτίνα του μικρού θα είναι r-x

Εστω $\varphi =\angle ABT=\angle AKP .$
$\cos \varphi =\dfrac{KP}{KA}=\dfrac{r-x}{r+x}=\dfrac{KB}{TB}=\dfrac{r-x}{TB}$

Αρα TB=r+x

. Από π.θ. στο τρίγωνο TKB παίρνω: ${{(x+r)}^{2}}={{(x-r)}^{2}}+T{{K}^{2}}$ δηλ. $TK^{2}=4xr$ .
Από π.θ. στο τρίγωνο TOK έχω: ${{r}^{2}}={{x}^{2}}+T{{K}^{2}}$ .
Αρα. ${{x}^{2}}+4xr-{{r}^{2}}=0$
με αποδεκτή λύση την $x=(\sqrt{5}-2)r$

Εχω σχεδιάσει και το σχήμα, αλλά δεν ξέρω πως να το ανεβάσω
Ευχαριστώ τον george_visvikis για την βοήθεια

Ομοκατακόρυφα

Ομοκατακόρυφα

Re: Ομοκατακόρυφα

Re: Ομοκατακόρυφα

Μέλη σε σύνδεση