Διάταξη

Tolaso J Kos · #1

Να διατάξετε τους αριθμούς

$\displaystyle{\gamma^{\sqrt{\pi e}} \quad , \quad \pi^{\sqrt{e \gamma}} \quad , \quad e^{\sqrt{\gamma \pi}}}$
όπου $\gamma$ η σταθερά Euler - Mascheroni.

dement · #2

Η σταθερά $\gamma$ είναι η μόνη μικρότερη της μονάδας, όπερ κατατάσσει αυτόματα τον $\gamma^{\sqrt{\pi e}}$ ως τον μικρότερο.

Για τους άλλους δύο, αρκεί να συγκρίνουμε τους $\pi^{\sqrt{e}}, e^{\sqrt{\pi}}$ (λόγω μονοτονίας). Η συνάρτηση $\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ έχει μέγιστο στο e^2

και, αφού $e < \pi < e^2$ , ισχύει:

$\displaystyle \frac{\ln e}{\sqrt{e}} < \frac{\ln \pi}{\sqrt{\pi}} \implies e^{\sqrt{\pi}} < \pi^{\sqrt{e}} \implies e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{\gamma e}}$

Άρα $\gamma^{\sqrt{\pi e}} < e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{\gamma e}}$ .

#3

Θεωρώ την συνάρτηση $f:(0,e^2) \to \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = x^{1/\sqrt{x}} = e^{\log{x}/\sqrt{x}}$ . Έχουμε $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}\left(1 - \frac{\log{x}}{2} \right)e^{\frac{\log{x}}{\sqrt{x}}}$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα. Έχουμε $0 < \gamma < e < \pi < e^2$ . Άρα $f(\gamma) < f(e)$ που δίνει $\gamma^{\sqrt{e}} < e^{\sqrt{\gamma}}$ και άρα $\gamma^{\sqrt{\pi e}} < e^{\sqrt{\gamma \pi}}$ . [Η συγκεκριμένη είναι προφανής ούτως ή άλλως αφού $\gamma < 1 < e$ .]

Ομοίως παίρνουμε και $e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{e\gamma}}$ .

Δεν πρόσεξα ότι με πρόλαβε ο Δημήτρης.

Διάταξη

Διάταξη

Re: Διάταξη

Re: Διάταξη

Μέλη σε σύνδεση