Iδιαίτερες ασκήσεις

[almaxios]

Θα ήθελα σας παρακαλώ την βοήθεια σας για τις παρακάτω ασκησεις :

1) Αν ο αριθμός είναι ακέραιος , να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η εξίσωση
, έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα.

2) α) Αν το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό , τότε να δειχθεί ότι ο αριθμός για κάθε είναι ακέραιος που διαιρείται με τον αριθμό .
β) Αν στο πολυώνυμο , με ακέραιους συντελεστές , είναι περιττοί , τότε να δειχθεί ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Ευχαριστώ προκαταβολικά.


Στην 1η άσκηση θα θεωρήσω ότι για να έχει ακέραια ρίζα θα πρέπει να είναι οι αριθμοί , +1,-1,+2,-2 , όποτε για κάθε περίπτωση θα βρω το ;

[Christos.N]

1) Αν ο αριθμός είναι ακέραιος , να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η εξίσωση
, έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα.

Στην 1η άσκηση θα θεωρήσω ότι για να έχει ακέραια ρίζα θα πρέπει να είναι οι αριθμοί , +1,-1,+2,-2 , όποτε για κάθε περίπτωση θα βρω το ;

Πολύ σωστά!

Χρησιμοποίησε το θεώρημα ακεραίων ριζών, οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι και πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης.
(ο αριθμός είναι ακέραιος όχι ο )

2) α) Αν το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό , τότε να δειχθεί ότι ο αριθμός για κάθε είναι ακέραιος που διαιρείται με τον αριθμό .
β) Αν στο πολυώνυμο , με ακέραιους συντελεστές , είναι περιττοί , τότε να δειχθεί ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Για το α) γράψε τον αλγόριθμο της Ευκλείδειας διαίρεσης που προκύπτει, στην συνέχεια τι πρέπει να κάνεις για να βρεις τον αριθμό αριθμός

Για το β) Γράψε πάλι τον αλγόριθμο της διαίρεσης , τι πρέπει να κάνεις για να βρεις τους αριθμούς ; Χρησιμοποίησε το συμπέρασμα του α) ερωτήματος και όταν φτάσεις εκεί να θυμάσαι ότι ένας άρτιος αριθμός δεν διαιρεί έναν περιττό. (Αυτό το τελευταίο έχει μια μικρή απόδειξη)