Εναλλασσόμενη Fibonacci

Tolaso J Kos · #1

Ο

- οστός αριθμός Fibonacci ορίζεται ως F_0=0

και

και αναδρομικά από τη σχέση
$\displaystyle{F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \quad \text{\gr για κάθε} \quad n \geq 0}$ Δείξατε ότι
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \arctan \left( \frac{(-1)^n}{F_{n+1} \left( F_{n} + F_{n+2} \right)} \right) = \arctan \left( \sqrt{5} -2 \right)}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 27, 2017 7:54 am
Ο - οστός αριθμός Fibonacci ορίζεται ως και και αναδρομικά από τη σχέση
$\displaystyle{F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \quad \text{\gr για κάθε} \quad n \geq 0}$ Δείξατε ότι
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \arctan \left( \frac{(-1)^n}{F_{n+1} \left( F_{n} + F_{n+2} \right)} \right) = \arctan \left( \sqrt{5} -2 \right)}$

.
(Κάνω και μικρή διόρθωση στο τελικό αποτέλεσμα).

Από γνωστή ταυτότητα είναι $(-1)^n=F_{n+1}^2- F_nF_{n+2}$ οπότε ο γενικός όρος γίνεται

$\arctan \left( \dfrac {F_{n+1}^2 -F_nF_{n+2}}{F_{n+1} \left( F_{n} + F_{n+2} \right)} \right ) = \arctan \left(\dfrac {\dfrac {F_{n+1} }{F_{n+2} }-\dfrac { F_n}{F_{n+1}}}{1+ \dfrac {F_{n+1}} {F_{n+2}} \cdot \dfrac {F_{n}} {F_{n+1}} }\right ) =$

$= \arctan \dfrac { F_{n+1}}{F_{n+2}}- \arctan \dfrac { F_n}{F_{n+1}}$

Οπότε το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό. Δεδομένου τώρα ότι $\dfrac { F_{0}}{F_{1}} =0$ και $\dfrac { F_{n+1}}{F_{n+2}}\to \dfrac {1}{\phi} = \dfrac {\sqrt 5-1}{2}$ , το ζητούμενο άθροισμα ισούται με

$\arctan \dfrac {\sqrt 5-1}{2}$

Εναλλασσόμενη Fibonacci

Εναλλασσόμενη Fibonacci

Re: Εναλλασσόμενη Fibonacci

Re: Εναλλασσόμενη Fibonacci

Μέλη σε σύνδεση