Κυρτή στο R

pito · #1

Καλημέρα

.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{x}-1}{x},x\neq 0\\ 1,x=0 \end{matrix}\right.$ είναι κυρτή στο

.

Ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η

παραγωγίζεται στο

και $f'(0)=\frac{1}{2}$

Για $x\neq 0$

είναι $f''(x)=\dfrac{r(x)}{x^{3}}$

όπου $r(x)=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}-2$

Είναι $r(0)=0\wedge r'(x)=x^{2}e^{x}$

Από μονοτονία της

έχουμε $x> 0\Rightarrow r(x)> 0\wedge x< 0\Rightarrow r(x)< 0$

Αρα $f''(x)> 0,x\neq 0$

που δείχνει ότι η

είναι κυρτή.

#3

Αποδείξτε και το ισ-χειρότερο (

), ότι η συνάρτηση είναι λογαριθμικά κυρτή, δηλαδή ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\ln \circ f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Αν

τότε είναι $g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}}{(f(x))^{2}}$

Αρκεί να δείξουμε ότι για $x\neq 0$

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}>0$

Αλλά κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}=\dfrac{r(x)}{x^{4}}$

οπου $r(x)=e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1=e^{x}(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2})$

Αρκεί για $x\neq 0$

να είναι $e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}>0$ (1)

Ειναι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ (2)

με ισότητα αν και μόνο αν x=0

παίρνοντας την (2)για

και

και προσθέτοντας έχουμε την (1).

Απόδειξη της (2)
Θεωρούμε την $h(x)=e^{-x}(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6})$

Είναι $h'(x)=-e^{-x}\frac{x^{3}}{6}$ που δείχνει ότι έχει ολικό μέγιστο στο

Αφού

προκύπτει άμεσα.

Με τον ίδιο τρόπο που μπορούμε να δείξουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+.....+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

με ισότητα αν και μόνο αν x=0

Συμπλήρωμα .Διόρθωσα τυπογραφικό.Συγκεκριμένα είχα γράψει ολικό ελάχιστο για την

ενώ το σωστό είναι
ολικό μέγιστο.

Antonis Loutraris · #5

Ένα ακόμη ερώτημα..

Υπάρχει θετική κυρτή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ της οποίας
ο λογάριθμος δεν είναι κυρτή συνάρτηση;

Παπαστεργίου Κώστας · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αν

τότε είναι $g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}}{(f(x))^{2}}$

Αρκεί να δείξουμε ότι για $x\neq 0$

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}>0$

Αλλά κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}=\dfrac{r(x)}{x^{4}}$

οπου $r(x)=e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1=e^{x}(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2})$

Αρκεί για $x\neq 0$

να είναι $e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}>0$ (1)

Ειναι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ (2)

με ισότητα αν και μόνο αν

παίρνοντας την (2)για και και προσθέτοντας έχουμε την (1).

Απόδειξη της (2)
Θεωρούμε την $h(x)=e^{-x}(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6})$

Είναι $h'(x)=-e^{-x}\frac{x^{3}}{6}$ που δείχνει ότι έχει ολικό μέγιστο στο

Αφού προκύπτει άμεσα.

Με τον ίδιο τρόπο που μπορούμε να δείξουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+.....+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

με ισότητα αν και μόνο αν

Συμπλήρωμα .Διόρθωσα τυπογραφικό.Συγκεκριμένα είχα γράψει ολικό ελάχιστο για την ενώ το σωστό είναι
ολικό μέγιστο.

Ο μηδενισμός της πρώτης παραγώγου σε ένα σημείο δεν αρκεί να το χαρακτηρίσει ως θέση ακροτάτου. Πολύ δε μάλλον ολικό ακρότατο. Δεν είναι γνωστή η μονοτονία της h και δυστυχώς η δευτέρα παράγωγος είναι επίσης 0 και πάει λέγοντας. Έχω να πω όμως ότι η σχέση $e^{x}>1+x+....+\frac{x^{n}}{n!}$ ισχύει και αυτό προκύπτει από το ανάπτυγμα της $e^{x}$ σε δυναμοσειρά. Έτσι νομίζω ότι φεύγει ένα μελανό σημείο από μια έξυπνη απόδειξη.

Πάντως αν θέλαμε να περιοριστούμε σε σχολικά πλαίσια έχω μια απόδειξη την οποία θα ανεβάσω αύριο διότι είναι αργά και είναι λίγο μεγάλη.
Καλόπιστα ΠΚ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αν

τότε είναι $g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}}{(f(x))^{2}}$

Αρκεί να δείξουμε ότι για $x\neq 0$

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}>0$

Αλλά κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι

$f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}=\dfrac{r(x)}{x^{4}}$

οπου $r(x)=e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1=e^{x}(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2})$

Αρκεί για $x\neq 0$

να είναι $e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}>0$ (1)

Ειναι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ (2)

με ισότητα αν και μόνο αν

παίρνοντας την (2)για και και προσθέτοντας έχουμε την (1).

Απόδειξη της (2)
Θεωρούμε την $h(x)=e^{-x}(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6})$

Είναι $h'(x)=-e^{-x}\frac{x^{3}}{6}$ που δείχνει ότι έχει ολικό μέγιστο στο

Αφού προκύπτει άμεσα.

Με τον ίδιο τρόπο που μπορούμε να δείξουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$

$e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+.....+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

με ισότητα αν και μόνο αν

Συμπλήρωμα .Διόρθωσα τυπογραφικό.Συγκεκριμένα είχα γράψει ολικό ελάχιστο για την ενώ το σωστό είναι
ολικό μέγιστο.

Ο μηδενισμός της πρώτης παραγώγου σε ένα σημείο δεν αρκεί να το χαρακτηρίσει ως θέση ακροτάτου. Πολύ δε μάλλον ολικό ακρότατο. Δεν είναι γνωστή η μονοτονία της h και δυστυχώς η δευτέρα παράγωγος είναι επίσης 0 και πάει λέγοντας. Έχω να πω όμως ότι η σχέση $e^{x}>1+x+....+\frac{x^{n}}{n!}$ ισχύει και αυτό προκύπτει από το ανάπτυγμα της $e^{x}$ σε δυναμοσειρά. Έτσι νομίζω ότι φεύγει ένα μελανό σημείο από μια έξυπνη απόδειξη.

Πάντως αν θέλαμε να περιοριστούμε σε σχολικά πλαίσια έχω μια απόδειξη την οποία θα ανεβάσω αύριο διότι είναι αργά και είναι λίγο μεγάλη.
Καλόπιστα ΠΚ.

Είδατε πουθενά γραμμένο ότι ο μηδενισμός της πρώτης παραγώγου μας δίνει το ακρότατο;

Από την $h'(x)=-e^{-x}\frac{x^{3}}{6}$ προκύπτει άμεσα εύκολα η μονοτονία της συνάρτησης και μετά το

ολικό ακρότατο.

$x> 0\Rightarrow x^{3}> 0\Rightarrow -e^{-x}\frac{x^{3}}{6}< 0$
κλπ

Παπαστεργίου Κώστας · #8

Η δευτέρα παράγωγος της $ln(\frac{e^{x}-1}{x})$ είναι η $\frac{e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1}{x^{2}(e^{x}-1)^{2}}$ της οποίας το πρόσημο φυσικά καθορίζεται από τον αριθμητή $h_{1}(x)= e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1$ με $h_{1}(0)=0$ και ${h_{1}}'(x)= e^{x}\left ( 2e^{x}-2x-x^{2}-2 \right )$ Το πρόσημο αυτής καθορίζεται από το πρόσημο της $h_{2}(x)= 2e^{x}-2x-x^{2}-2$ με $h_{2}(0)=0$ και ${h_{2}}'(x)=2(e^{x}-x-1)$ .Το πρόσημο της ${h_{2}}'(x)$ καθορίζεται από το πρόσημο της $h_{3}(x)=e^{x}-x-1$ με $h_{3}(0)=0$ και ${h_{3}}'(x)= e^{x}-1$ με ${h_{3}}'(0)= 0$ και ${h_{3}}''(x)= e^{x}> 0$
Πάμε τώρα αντίστροφα.
Η ${h_{3}}'(x)$ είναι γνησίως αύξουσα άρα

αριστερά του μηδενός και

δεξιά του. Άρα η $h_{3}(x)$ είναι θετική με ελάχιστο το μηδέν. Επομένως η $h_{2}(x)$ άρα και η ${h_{1}}'(x)$
είναι αύξουσα άρα

αριστερά του μηδενός και

δεξιά του. Έτσι η $h_{1}(x)$ είναι θετική με ελάχιστο το μηδέν.
Τελικά η δευτέρα παράγωγος της $ln(\frac{e^{x}-1}{x})$ είναι θετική παντού (και στο 0 με πολλαπλά DLH είναι 1/12 αν και δε χρειάζεται). Έτσι η $ln(\frac{e^{x}-1}{x})$ είναι κυρτή.
Ευχαριστώ
ΠΚ

Παπαστεργίου Κώστας · #9

Η νύχτα είναι κακός σύμβουλος και εγώ απρόσεκτος. Ήταν πατάτα. Ίσως είμαι πρόβλημα γιαυτό φεύγω. Να είστε καλά.

#10

Antonis Loutraris έγραψε:Ένα ακόμη ερώτημα..

Υπάρχει θετική κυρτή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ της οποίας
ο λογάριθμος δεν είναι κυρτή συνάρτηση;

Μια τέτοια είναι η κυρτή $\displaystyle{x^2+1}$ με την $\displaystyle{\ln (x^2+1)}$ να Μην είναι κυρτή σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

M.S.Vovos · #11

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Η νύχτα είναι κακός σύμβουλος και εγώ απρόσεκτος. Ήταν πατάτα. Ίσως είμαι πρόβλημα γιαυτό φεύγω. Να είστε καλά.

Κύριε Παπαστεργίου, θα ήθελα να δηλώσω απλά (μέσα από τη μικρή μου διαδρομή στο ) ότι ο εν λόγω ιστόχωρος έχει τη λογική και τη νοοτροπία να έλκει και όχι να απωθεί τα άτομα που δέχεται. Δεν είστε καθόλου πρόβλημα, κάθε άλλο μάλιστα. Γι' αυτό θα προτιμούσα να μείνετε. Πάντα υπάρχει κάτι που μπορούμε να μάθουμε από άλλους... κάτι καινούργιο!

Φιλικά.

Υ.Γ. Σας τα λέει αυτά άνθρωπος που δεν έχει κάποιο "αξίωμα" στο

.

pito · #12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 12, 2017 4:03 pm
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η

παραγωγίζεται στο και $f'(0)=\frac{1}{2}$

Για $x\neq 0$

είναι $f''(x)=\dfrac{r(x)}{x^{3}}$

όπου $r(x)=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}-2$

Είναι $r(0)=0\wedge r'(x)=x^{2}e^{x}$

Από μονοτονία της

έχουμε $x> 0\Rightarrow r(x)> 0\wedge x< 0\Rightarrow r(x)< 0$

Αρα $f''(x)> 0,x\neq 0$

που δείχνει ότι η είναι κυρτή.

Καλημέρα,σας ευχαριστώ για την απάντησή σας. Μετά από καιρό, ήθελα να ρωτήσω, δεν θα έπρεπε και να δείξουμε ότι η παράγωγος της

είναι συνεχής στο

, για να πούμε ότι η

είναι κυρτή σε όλο το

;

Ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

pito έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 12, 2018 11:29 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 12, 2017 4:03 pm
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η

παραγωγίζεται στο και $f'(0)=\frac{1}{2}$

Για $x\neq 0$

είναι $f''(x)=\dfrac{r(x)}{x^{3}}$

όπου $r(x)=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}-2$

Είναι $r(0)=0\wedge r'(x)=x^{2}e^{x}$

Από μονοτονία της

έχουμε $x> 0\Rightarrow r(x)> 0\wedge x< 0\Rightarrow r(x)< 0$

Αρα $f''(x)> 0,x\neq 0$

που δείχνει ότι η είναι κυρτή.
Καλημέρα,σας ευχαριστώ για την απάντησή σας. Μετά από καιρό, ήθελα να ρωτήσω, δεν θα έπρεπε και να δείξουμε ότι η παράγωγος της είναι συνεχής στο , για να πούμε ότι η είναι κυρτή σε όλο το ;

Ευχαριστώ.

Εξαρτάται τα Μαθηματικά.Με τα δεδομένα της λύσης είναι άμεσο ότι η

είναι συνεχής.

Δηλαδή αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής παραγωγίσημη με $f''(x)> 0,x\neq 0$
τότε η

είναι συνεχής.

Απόδειξη.
η

είναι γνησίως αύξουσα στα $(0,+\infty ),(-\infty ,0)$
Ετσι τα $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'(x),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'(x)$
υπάρχουν.Ωφείλουν να είναι ίσα(προκύπτει από Darboux) .
Και επειδή το f'(0)

υπάρχει προκύπτει ότι είναι ίσα με αυτό.

Μάλλον το παραπάνω είχα στο μυαλό μου και το παρέλειψα.

Σε κάθε περίπτωση είναι εύκολο με DHL να δείξουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=f'(0)$

ann79 · #14

Καλημέρα.

Αν ζητηθεί να δείξουμε ότι η αρχική συνάρτηση που δίνεται είναι θετική στο

, είναι σωστό να πούμε ότι η

είναι μη μηδενική στο

και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού f(0)=1>0

είναι

για κάθε

στο

παρότι το

είναι το σημείο αλλαγής κλάδου της

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 8:22 am
Καλημέρα.

Αν ζητηθεί να δείξουμε ότι η αρχική συνάρτηση που δίνεται είναι θετική στο , είναι σωστό να πούμε ότι η είναι μη μηδενική στο και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού είναι για κάθε στο παρότι το είναι το σημείο αλλαγής κλάδου της ;

Οι ιδιότητες των συναρτήσεων είναι γενικές και ισχύουν για όλες.
Με οποιονδήποτε τρόπο και αν ορίζονται.

Η συγκεκριμένη δε είναι $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{k}}{(k+1)!}$

Κυρτή στο R

Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Re: Κυρτή στο R

Μέλη σε σύνδεση