σταθερο σημείο

#1

Επειδή πιστεύω τα ίδια πράγματα με τον Στάθη και τον Βασιλη θα στείλω μερικές ασκήσεις ανάλυσης που η εκφώνηση λύση επιδέχεται ισχυρό ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ περιεχόμενο

Η f είναι συνεχής στο $\displaystyle{[a,b]}$ και $\displaystyle{a\le f(x)\le b}$ . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο $\displaystyle{[a,b]}$ : $\displaystyle{f(\xi)=\xi}$ (Η πρόταση αυτή ονομάζεται θεώρημα σταθερού σημείου). Aν επιπλέον η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα να δείξετε ότι το $\displaystyle{\xi}$ είναι μοναδικό και δεν μπορεί να είναι ούτε το $\displaystyle{a}$ ούτε το $\displaystyle{b}$ .
Να τονίσω οτι οι ιδέες είναι γεωμετρικές το κύρος και η γραφή αλγεβρικά, η προσπάθεια είναι να ενωθούν στο επίπεδο της Γ.Λυκείου

#2

R BORIS έγραψε:Επειδή πιστεύω τα ίδια πράγματα με τον Στάθη και τον Βασιλη θα στείλω μερικές ασκήσεις ανάλυσης που η εκφώνηση λύση επιδέχεται ισχυρό ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ περιεχόμενο

Η f είναι συνεχής στο $\displaystyle{[a,b]}$ και $\displaystyle{a\le f(x)\le b}$ . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο $\displaystyle{[a,b]}$ : $\displaystyle{f(\xi)=\xi}$ (Η πρόταση αυτή ονομάζεται θεώρημα σταθερού σημείου). Aν επιπλέον η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα να δείξετε ότι το $\displaystyle{\xi}$ είναι μοναδικό και δεν μπορεί να είναι ούτε το $\displaystyle{a}$ ούτε το $\displaystyle{b}$ .
Να τονίσω οτι οι ιδέες είναι γεωμετρικές το κύρος και η γραφή αλγεβρικά, η προσπάθεια είναι να ενωθούν στο επίπεδο της Γ.Λυκείου

Ροδόλφε καλημέρα. Χαίρομαι ιδιαίτερα που ένας ακόμα μεγάλος εραστής της ανάλυσης βλέπει το γεωμετρικό της "πάθος"

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h\left( x \right)=f\left( x \right)-x,x\in \left[ a,b \right]$ η οποία είναι συνεχής στο $\left[ a,b \right]$ (διαφορά συνεχών) και

$\left\{ \begin{gathered} h\left( a \right)\mathop = \limits^{f\left( x \right) \in \left[ {a,b} \right],\forall x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( a \right) - a \geqslant 0 \hfill \\ h\left( b \right)\mathop = \limits^{f\left( x \right) \in \left[ {a,b} \right],\forall x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( b \right) - b \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{h\left( a \right) \cdot h\left( b \right) \leqslant 0}:\left( 1 \right)$ .

i) Αν $h\left( a \right)\cdot h\left( b \right)=0\Leftrightarrow h\left( a \right)=0\,\,\vee \,\,h\left( b \right)=0$ οπότε η εξίσωση $h\left( x \right)=0$ έχει ρίζες το ή και το τα οποία ανήκουν στο $\left[ a,b \right]$ (τα άκρα)

ii) Αν $h\left( a \right) \cdot h\left( b \right) < 0\mathop \Rightarrow \limits^{\Theta .\,Bolzano\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\tau \eta \nu \,\,h\,\,\sigma \tau o\,\,{\kern 1pt} \left[ {a,b} \right]}$ $\exists \xi \in \left( {a,b} \right):h\left( \xi \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{h\left( x \right) = f\left( x \right) - x} \ldots f\left( \xi \right) = \xi$ .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει $\xi \in \left[ a,b \right]:f\left( \xi \right)=\xi$

Στην περίπτωση που γνησίως φθίνουσα στο $\left[ a,b \right]$ , με $g\left( x \right)=-x$ γνησίως φθίνουσα στο $R\supset \left[ a,b \right]\Rightarrow h$ γνησίως φθίνουσα στο $\left[ a,b \right]$ (άθροισμα γνησίως φθινουσών (γνωστή πρόταση (πράξεις και μονοτονία) ) οπότε το σημείο μηδενισμού της στο $\left[ a,b \right]$ (που αποδείξαμε ότι ούτως ή άλλως υπάρχει) θα είναι μοναδικό άρα το $\left[ {a,b} \right] \mathrel\backepsilon \xi :\boxed{f\left( \xi \right) = \xi }$ θα είναι μοναδικό.

Το γεωμετρικό υπόβαθρο που αναφέρει ο Ροδόλφος είναι ότι η γραφική παράσταση της θα τμήσει το ευθύγραμμο τμήμα $AB,A\left( a,a \right),B\left( b,b \right)$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $M\left( \xi ,f\left( \xi \right) \right),\xi \in \left[ a,b \right]$ το οποίο γίνεται μοναδικό στην περίπτωση της απόλυτης "κατηφόρας" της

Με εκτίμηση
Στάθης

Σταμ. Γλάρος · #3

R BORIS έγραψε:Επειδή πιστεύω τα ίδια πράγματα με τον Στάθη και τον Βασιλη θα στείλω μερικές ασκήσεις ανάλυσης που η εκφώνηση λύση επιδέχεται ισχυρό ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ περιεχόμενο

Η f είναι συνεχής στο $\displaystyle{[a,b]}$ και $\displaystyle{a\le f(x)\le b}$ . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο $\displaystyle{[a,b]}$ : $\displaystyle{f(\xi)=\xi}$ (Η πρόταση αυτή ονομάζεται θεώρημα σταθερού σημείου). Aν επιπλέον η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα να δείξετε ότι το $\displaystyle{\xi}$ είναι μοναδικό και δεν μπορεί να είναι ούτε το $\displaystyle{a}$ ούτε το $\displaystyle{b}$ .
Να τονίσω οτι οι ιδέες είναι γεωμετρικές το κύρος και η γραφή αλγεβρικά, η προσπάθεια είναι να ενωθούν στο επίπεδο της Γ.Λυκείου

Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη !
Συνεισφέροντας και εγώ το λιθαράκι μου επισημαίνω, όπως το θέτει και ο θεματοδότης, ότι το $\xi$ δεν μπορεί να είναι ούτε το $\displaystyle{a}$ ούτε το $\displaystyle{b}$ , διότι αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής, είναι $f\left ( \left [ a,b \right ] \right ) =\left [ f(a),f(b) \right ].$
Συνεπώς $f(a)\neq a$ και $f(b)\neq b$ .

Με θερμές ευχαριστίες για την υπέροχη πρωτοβουλία...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#4

Aς γίνουμε όσο πιο αναλυτκοί μπορούμε
Οι ανισότητες $\displaystyle{a\le x \le b}$ σημαίνουν οτι τα χ βρίσκονται μεταξύ 2 κατακορύφων ευθειών , των $\displaystyle{xa,x=b}$ ενώ οι $\displaystyle{a\le f(x)\le b}$ σημαίνουν ότι τα $\displaystyle{f(x)}$ μεταβάλονται μεταξύ των οριζοντίων $\displaystyle{y=a,y=b}$
Aρα τα σημεία της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f , (x,f(x))}$ βρίσκονται εντός του τετραγωνου $\displaystyle{KLMN}$

Έγγραφο1.docx: (27.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 43 φορές

Παρατηρείστε οτι διαγωνιος του τετραγώνου είναι η $\displaystyle{KM}$ και χωρίζει το επίπεδο σε 2 τμήματα $\displaystyle{S,P}$ .Το ένα άκρο της καμπύλης είναι πάνω στην $\displaystyle{KN}$ και το άλλο στην $\displaystyle{LM}$ άρα στα 2 ημιεπίπεδα . Αν τα ενώσουμε με την συνεχή $\displaystyle{f}$ αυτή κάπου θα τμήσει την διαχωριστική τους γραμμή $\displaystyle{KM}$ . Η τετμημενη αυτού του σημείου είναι το $\displaystyle{\xi}$

To $\displaystyle{\xi}$ είναι ριζα της γν φθίνουσας συνάρτησης $\displaystyle{f(x)-x}$ άρα είναι μοναδικό

Αν σημείο τομής είταν το $\displaystyle{K}$ επειδή η $\displaystyle{f}$ κατεβαίνει (γν.φθίνουσα) θα βρεθεί εκτος τετραγώνου Ατοπο
Αυτό το κατεβαίνει το δείχνουμε μέσω των ανισοτήτων μονοτονίας δηλαδή για $\displaystyle{x>a, f(x)<f(a)=a}$ άτοπο
Προσέξτε ότι σύνολο τιμων δεν είναι αναγκαστικά το $\displaystyle{[a,b]}$

#5

: Clipboard01.jpg (10.02 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

συγνωμη ! το σχήμα της άσκησης σταθερό σημείο

σταθερο σημείο

σταθερο σημείο

Re: σταθερο σημείο

Re: σταθερο σημείο

Re: σταθερο σημείο

Re: σταθερο σημείο

Μέλη σε σύνδεση