Υπενθυμιστική

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση

δυο φορές παραγωγίσιμη στο

ώστε

με

. Δείξτε οτι:

1) $\displaystyle{f(x) \geq 0\,\,,x \in R}$

2) $\displaystyle{\exists\,\, x_1,x_2 \in (-1,1): f''(x_1)+f'(x_2)>0}$

Αν γνωρίζουμε οτι $\displaystyle{f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x^2+1}}$ τότε:

3) Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\left ( e^{x^6}-1 \right )\left ( x^8+1 \right )<\left ( e^{x^8}-1 \right )\left ( x^6+1 \right )}$

4) $\displaystyle{\int_{-2}^{2}f(x)dx \leq 4e^4}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Απαντώ στα δύο πρώτα.
Είναι εύκολο να δούμε ότι (f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)

Θέτοντας $g(x)=x^{2}+1$

Η δοθείσα σχέση γίνεται $(f(x)(x^{2}+1))''> 0$

Εστω $h(x)=f(x)(x^{2}+1)$

Εχουμε h''(x)> 0,h'(0)=0,h(0)=0

Η

είναι γνησίως αύξουσα όποτε

$x> 0\Rightarrow h'(x)> 0$ και $x< 0\Rightarrow h'(x)< 0$

Αρα η

έχει ελάχιστο στο

Αρα $x\in \mathbb{R}\Rightarrow h(x)\geq h(0)=0$

και τελικά $x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)\geq 0$
και τελειώσαμε με το 1)

2)Αν στην δοθείσα βάλουμε x=0

προκύπτει οτι f''(0)> 0

Μπορούμε να πάρουμε $x_{1}=x_{2}=0$

Αν τα θέλουμε διαφορετικά παίρνουμε το $x_{2}$ από Θ.Μ.Τ στο διάστημα $[0,\frac{1}{2}]$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μιας και την σνομπάρουν όλοι να την τελειώσω.
3)H $g(t)=\dfrac{e^{t}-1}{1+t},t> 0$

εχει παράγωγο $g'(t)=\dfrac{te^{t}+1}{(1+t)^{2}}> 0$

Αρα η

για

είναι γνησίως αύξουσα σαν σύνθεση γνησίως αυξουσών συναρτήσεων.

Η ανισότητα γράφετε $f(x^{6})< f(x^{8})$ και λόγω των προηγουμένων είναι ισοδύναμη με την $x^{6}< x^{8}\Leftrightarrow x^{2}> 1\Leftrightarrow \left | x \right |> 1$

4)Για $x\in [-2,2]$ έχουμε $f(x)\leq \dfrac{e^{4}-1}{1}$

Αρα $\int_{-2}^{2}f(x)dx\leq 4(e^{4}-1)< 4e^{4}$

Υπενθυμιστική

Υπενθυμιστική

Re: Υπενθυμιστική

Re: Υπενθυμιστική

Μέλη σε σύνδεση