Ομάδα που δεν είναι απλή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

πεπερασμένη ομάδα με $\left | G \right |=2lm$ όπου

περιττός.

Αν η

έχει στοιχείο τάξης

τότε έχει υποομάδα με δείκτη

όποτε δεν είναι απλή.

(Δηλαδή έχει υποομάδα

με $\left | G:H \right |=2$ που προφανώς είναι κανονική)

dement · #2

Για κάθε στοιχείο $g \in G$ , η συνάρτηση $f_g: G \to G$ με f_g(x)=gx

είναι μετάθεση της

(η

είναι ισόμορφη προς μία υποομάδα της $S_{2lm}$ ). Έστω

στοιχείο τάξης

. Τότε, εύκολα βλέπουμε ότι η αντίστοιχη μετάθεση είναι

το πλήθος κύκλοι μήκους

, δηλαδή η μετάθεση είναι περιττή.

Αφού υπάρχει περιττή μετάθεση, το σύνολο των στοιχείων που αντιστοιχούν σε άρτιες μεταθέσεις είναι υποομάδα της

με δείκτη

.