Ελάχιστο μέγιστης απόστασης

[Al.Koutsouridis]

Να βρεθεί σημείο εσωτερικό οξυγώνιου τριγώνου για το οποίο η μέγιστη εκ των αποστάσεων από τις κορυφές του ελαχιστοποιείται.
(τι γίνεται σε περίπτωση αμβλυγώνιου τριγώνου;)

[R BORIS]

ΔΕΝ ΔΊΝΩ ΛΥΣΗ μόνο ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Έστω Μ το ζητούμενο ΑΜ>ΒΜ,ΑΜ>ΓΜ αν ΑΜ=ΜΑΧ{ΑΜ,ΒΜ,ΓΜ}

Άρα Αν Δ,Ε τα σημεία τομής Των μεσοκαθέτων των ΑΓ,ΑΒ με την ΒΓ και Ο το περίκεντρο του ΑΒΓ το Μ θα βρίσκεται στο εσωτερικό του ΟΔΕ ή στις πλευρές του

και Το Α βρίσκεται πιο "ψηλά" απο το Ο αφού ΑΗ=2ΟΚ όπου Η ορθόκεντρο και Κ το μέσον της ΒΓ

Τοτε το Ο είναι το πιο "ψηλό" σημείο του ΟΔΕ άρα το ΑΟ είναι Η ΜΙΝ απόσταση των ΑΜ Και υφίσταται αν
Μ=Ο αφού ΑΟ+ΟΜ>ΑΜ

ΑΟ=ΜΙΝ(ΑΜ)=ΜΙΝ(ΜΑΧ{ΑΜ,ΒΜ,ΓΜ})

Αν το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο το Ο δεν βρίσκεται στο εσωτερικό του ΑΒΓ οπότε δεν ισχύουν τα παραπάνω