Τετράγωνα σε καμπύλη

#1

1. Πόσα τετράγωνα υπάρχουν ώστε και οι τέσσερις κορυφές τους να βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο ή ένα άλλο τετράγωνο ;
2. Πόσα τετράγωνα υπάρχουν ώστε και οι τέσσερις κορυφές τους να βρίσκονται πάνω στις πλευρές ενός τριγώνου ; Πως κατασκευάζονται ;
3. Υπάρχει τετράγωνο ώστε και οι τέσσερις κορυφές του να βρίσκονται πάνω σε μια απλή κλειστή καμπύλη ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

4. Αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στο $\displaystyle{[0,1]}$ με $\displaystyle{f(0) = f(1)}$ και $\displaystyle{f(x) \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [0,1]}$
αποδείξτε ότι υπάρχει τετράγωνο που να έχει τις δύο κορυφές του πάνω στον $\displaystyle{x'x}$ και τις άλλες δύο πάνω στην καμπύλη .

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: 4. Αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στο $\displaystyle{[0,1]}$ με $\displaystyle{f(0) = f(1)}$ και $\displaystyle{f(x) \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [0,1]}$
αποδείξτε ότι υπάρχει τετράγωνο που να έχει τις δύο κορυφές του πάνω στον $\displaystyle{x'x}$ και τις άλλες δύο πάνω στην καμπύλη .

Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως $f(x)=1 ,\; x \in [0, 1]$ η οποία είναι συνεχής συνάρτηση στο εν λογω διάστημα. Σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση έχουμε:
$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-1.5, 0) -- (1.5, 0); \draw [->] (0, -1.5) -- (0, 1.5); \draw (1.5, 0) node[below]{x}; \draw (0, 1.5) node[left]{y}; \draw [thick, red] (0,1) -- (1, 1); \draw [dashed](0, 0) --(0, 1) -- (1,1)--(1, 0) --cycle; \draw (0, 1) node[left]{1}; \draw (0, -0.2) node[left]{O}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \end{tikzpicture}$ Από το σχήμα είναι φανερό πως υπάρχει τετράγωνο με δύο πλευρές πάνω στον άξονα x'x

και δύο πάνω στη γραφική παράσταση. Είναι το τετράγωνο με κορφές ${\rm O}(0,0),\; {\rm A}(0, 1), \; {\rm B}(1, 1)$ και $\Gamma(1, 0)$ .

Παρόμοια, μπορούμε για κάθε σταθερή θετική συνάρτηση $f(x)=c , \; x \in [0, 1]$ να βρούμε τετράγωνο. Θαρρώ θα υπάρχουν και άλλες.

Τα παραπάνω βέβαια αν κατάλαβα καλά την ερώτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Κάτι σχετικό υπάρχει στο
viewtopic.php?f=61&t=52186

Το 4 αν θυμάμαι καλά υπάρχει σαν άσκηση στο βιβλίο για πανελλήνιες του Μπάμπη Στεργίου.

Ο Τόλης δεν είδε το f(0)=f(1)=0

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως $f(x)=1 ,\; x \in [0, 1]$

Τόλη, η

δίδεται. Δεν την επιλέγεις εσύ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Στο 4) πρέπει να αποκλεισθεί η περίπτωση $f(x)\equiv 0$
Η σωστή διατύπωση του είναι.
$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής $f\not\equiv 0$ και f(0)=f(1)=0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Απόδειξη του 4) ( είναι η 13.11 στον πρώτο τόμο του Μπάμπη Στεργίου)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(x)> 0

για $x\epsilon (0,1)$
(Αλλιώς δουλεύουμε στο διάστημα μεταξύ δύο ριζών).Τα 0,1

μπορούν να είναι οποιδήποτε πραγματικοί.

Επεκτείνουμε την

σε όλο το $\mathbb{R}$ θέτοντας f(x)=0

εκτός του

Εστω

ένα σημείο που η

παίρνει μέγιστη τιμή στο (0,1)

Είναι εύκολο να δούμε ότι υπάρχει $a\epsilon (0,b)$ με a+f(a)=b

Θεωρούμε την g(x)=f(x+f(x))-f(x)

Προφανώς $g(a)=f(a+f(a))-f(a)=f(b)-f(a)\geq 0$

και $g(b)=f(b+f(b))-f(b)\leq 0$

Απο Bolzano υπάρχει $c\epsilon [a,b]\subset [0,1]$

με g(c)=0

δηλαδή

Θέτουμε $x_{2}=c+f(c)$ και $x_{1}=c$

Εχουμε $x_{2}-x_{1}=f(x_{2})=f(x_{1})$

Τα σημεία $(x_{1},0),(x_{1},f(x_{1}),(x_{2},f(x_{2})),(x_{2},0)$ είναι κορυφές τετραγώνου.

Η απόδειξη είναι ίδια με του Μπάμπη πιό σύντομα γραμμένη.
Συμπλ.Διόρθωσα κάποια τυπογραφικά

Τετράγωνα σε καμπύλη

Τετράγωνα σε καμπύλη

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση