Επίλυση Τριγώνου

harrythelegend · #1

Έχω πρόβλημα με αυτη την ασκηση.
Στο τρίγωνο ABC οι γωνίες είναι 20, 65, 95 βαθμούς και το εμβαδο του είναι 45 εκατοστά ^ 2.

Υπολογίστε τη μικρότερη πλευρά του τριγώνου.
Εχω κολλησει, λιγη βοηθεια

#2

Χωρίς να κάνω πράξεις 2η φορά, ο σκελετός της λύσης δίνετα ακολούθως.

Ισχύουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{\eta \mu 65^o=\eta \mu (45^o+20^o)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\eta \mu 20^o+\sigma \upsilon \nu 20^o)}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 65^o=\sigma \upsilon \nu (45^o+20^o)= \frac{\sqrt{2}} {2} (\sigma \upsilon \nu 20^o-\eta \mu 20^o)}$

$\displaystyle{\eta \mu 95^o=\eta \mu 85^o=\eta \mu (65^o+20^o)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2\eta \mu 20^o\sigma \upsilon \nu 20^o+\sigma \upsilon \nu^2 20^o-\eta \mu^2 20^o)}$

Από νόμο ημιτόνων:

$\displaystyle{\frac{a}{\eta \mu A}=\frac{\beta }{\eta \mu B}=\frac{\gamma }{\eta \mu \Gamma }=\lambda \Leftrightarrow \frac{a}{\eta \mu 20^o}=\frac{\beta }{\eta \mu 65^o}=\frac{\gamma }{\eta \mu 95^o }=\lambda (I)}$

Επίσης:

$\displaystyle{\tau =\frac{a+\beta +\gamma }{2}=\frac{\lambda (\eta \mu 20^o+ \eta \mu 65^o+ \eta \mu 95^o)}{2}}$

και βρίσκουμε ομοίως τα τ-α, τ-β, τ-γ.

Από τον τύπο του Ήρωνα:

$\displaystyle{(AB\Gamma )=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-\beta )(\tau- \gamma) }$

και εκμεταλλευόμενοι τα παραπάνω δεδομένα υπολογίζουμε το λ, οπότε και την πλευρά α που είναι η μικρότερη.

#3

Δύο ακόμα λύσεις με τριγωνομετρία:

1η ΛΥΣΗ:
Έστω $\displaystyle \widehat A = 95^\circ ,\;\;\widehat B = 65^\circ ,\;\widehat\Gamma = 20^\circ$

Από Ν. Ημιτόνων είναι: $\displaystyle \alpha = 2R \cdot \eta \mu 95^\circ ,\;\; \beta = 2R \cdot \eta \mu 65^\circ ,\;\gamma = 2R \cdot \eta \mu 20^\circ$ , όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ.
Είναι: $\displaystyle {\rm E} = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{4R}}$ άρα $\displaystyle 4R \cdot 45 = 8R^3 \cdot \eta \mu 95^\circ \cdot \eta \mu 65^\circ \cdot \eta \mu 20^\circ \;\; \Leftrightarrow \;\;R = \sqrt {\frac{{45}}{{2\eta \mu 95^\circ \cdot \eta \mu 65^\circ \cdot \eta \mu 20^\circ }}}$
Άρα $\displaystyle \gamma = 2\sqrt {\frac{{45}}{{2\eta \mu 95^\circ \cdot \eta \mu 65^\circ \cdot \eta \mu 20^\circ }}} \cdot \eta \mu 20^\circ \cong 5,84\;m$

2η Λύση:

: 11-2-1010 Geometry.png (3.01 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Φέρνω το ύψος ΒΔ (εξωτερικά στο ΑΒΓ).
Τότε $\displaystyle {\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta = 90$
Είναι $\displaystyle \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu 65^\circ }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\eta \mu 20^\circ }}\;\; \Rightarrow \;\;{\rm A}\Gamma = \frac{{\eta \mu 65^\circ }}{{\eta \mu 20^\circ }} \cdot {\rm A}{\rm B}$ και $\displaystyle {\rm B}\Delta = {\rm A}{\rm B} \cdot \sigma \upsilon \nu 5^\circ$
άρα $\displaystyle {\rm A}{\rm B}^2 \frac{{\eta \mu 65^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 5^\circ }}{{\eta \mu 20^\circ }} = 90\;\; \Rightarrow \;\;{\rm A}{\rm B} = \sqrt {\frac{{90 \cdot \eta \mu 20^\circ }}{{\eta \mu 65^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 5^\circ }}} \cong 5,84 m$

Γιώργος Ρίζος
edit: Μία διόρθωση, μετά από διακριτική υπόδειξη της Σταυρουλίτσας! Αντί α = 2Rημ65° γράφω β = 2Rημ65°. Ευχαριστώ πολύ!

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Γιώργο θα ήταν προσβολή να μην συμμετείχες σε αυτό το θέμα!! Είναι κομμένο και ραμμένο στα μέτρα σου! Όσο για τις λύσεις και το σχήμα δεν το συζητώ, super όπως ταιριάζει σε έναν σκηνοθέτη, παραγωγό, ηθοποιό, ανιματέρ, ηλεκτρολόγο, φωτογράφο, μοντέρ, deliver-α κτλ... One man show ξανακτύπησε!!

Επίλυση Τριγώνου

Επίλυση Τριγώνου

Re: Επίλυση Τριγώνου

Re: Επίλυση Τριγώνου

Re: Επίλυση Τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση