MH ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

senaki · #1

Καλησπέρα!

Παραθέτω την παρακάτω άσκηση:

Να βρεθεί η ολοκληρωτική επιφάνεια της Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης: $a^2x_{2}uu_{x_{1}}+b^2x_{1}uu_{x_{2}}=2c^{2}x_{1}x_{2}$ , με $ab,c\neq 0$ η οποία διέρχεται από την έλλειψη $C:\left ( x_{1},x_{2},x_{3} \right )\in \mathbb{R}^3:\frac{x_{1}^2}{a^2}+\frac{x_{2}^2}{b^2}=1$ , με $x_{3}=u\left ( x_{1} ,x_{2}\right )=0$

Ευχαριστώ για τη βοήθεια.

viviebo · #2

Senaki, έβγαλες άκρη; Μήπως χρειάζεται να γράψουμε την καμπύλη C σε παραμετρική μορφή; Και μετά τι;

senaki · #3

Συμφωνώ. Πρίν από αυτό όμως δεν θα έπρεπε να βρω δύο επιφάνειες που η τομή τους να μου δίνει τις χαρακτηριστικές καμπύλες έτσι ώστε να βρω τη γενική λύση της ΜΔΕ και στη συνέχεια να προχωρήσω στην επίλυση του προβλήματος Cauchy;

έχω λοιπόν βρει με τεχνάσματα τη μία επιφάνεια ώς εξής
Λύνω το παρακάτω σύστημα:
$\frac{dx_{1}}{ds}=a^{2}x_{2}x_{3}$ (1)
$\frac{dx_{2}}{ds}=b^{2}x_{1}x_{3}$ (2)
$\frac{dx_{3}}{ds}=2c^{2}x_{1}x_{2}$ (3)

Πολλαπλασιάζω την (1) με $x_{1}$ ,την (2) με $x_{2}$ , τις προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει μια σχέση (4) , στη συνέχεια πολλαπλασιάζω την (3) με $x_{3$ και προκύπτει μια (5) σχέση και τέλος (5)-(4) και βρίσκω την επιφάνεια $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=c$ .

Καμία ιδέα για το πώς θα μπορούσα να βρω την αλλη επιφάνεια;

MH ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

MH ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: MH ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: MH ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση