Μετασχηματισμός 2^κ-άδων

#1

Σε κάθε βήμα μπορούμε να μετασχηματίσουμε την 2^k

-άδα $(x_1,\ldots,x_{2^k})$ στην 2^k

-άδα $(x_1x_2,x_2x_3,\ldots,x_{2^k}x_1)$ . Να δειχθεί ότι αν αρχικά κάθε x_i

ισούται με

ή

τότε μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων όλοι οι αριθμοί της 2^k

-άδας θα ισούνται με

.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

#2

Demetres έγραψε:Σε κάθε βήμα μπορούμε να μετασχηματίσουμε την -άδα $(x_1,\ldots,x_{2^k})$ στην -άδα $(x_1x_2,x_2x_3,\ldots,x_{2^k}x_1)$ . Να δειχθεί ότι αν αρχικά κάθε ισούται με ή τότε μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων όλοι οι αριθμοί της -άδας θα ισούνται με .

Για να μην μένει αναπάντητη η ωραία αυτή άσκηση, δίνω υπόδειξη. Την αντλώ από την λύση που διάβασα στο βιβλίο
των Ν. Βασίλιεφ, Α. Γεγκόροφ, Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες της Ε.Σ.Σ.Δ.

Εργαζόμαστε επαγωγικά. Για το επαγωγικό βήμα από $2^{k}$ σε $2^{k+1}$ , ξεκινάμε με μία $2^{k+1}-$ δα της μορφής

$\displaystyle {(a_1,b_1,a_2,b_2, \ldots , a_{ 2^k}, b_{2^k})$ .

Εάν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό δύο φορές, και χρήση των a_m^2=b_m^2=1

, θα έλθουμε στο στοιχείο

$\displaystyle {(a_1a_2, b_1b_2, a_2a_3, \ldots , b_{ 2^{k-1}}b_{2^k})$ .

Κοιτάμε τώρα μόνο τα στοιχεία

$\displaystyle {(a_1a_2, **, a_2a_3, **, a_3a_4, \ldots , **, a_{ 2^{k-1}}a_{2^k}, **)$ και χωριστά τα

$\displaystyle {(**, b_1b_2, **, b_2b_3, **, b_3b_4, \ldots , **, b_{ 2^{k-1}}b_{2^k})$ , δηλαδή αδιαφορούμε για το τι ακριβώς είναι στις θέσεις *

Μετασχηματισμός 2^κ-άδων

Μετασχηματισμός 2^κ-άδων

Re: Μετασχηματισμός 2^κ-άδων

Μέλη σε σύνδεση