Κορυφές - βαρύκεντρα

KARKAR · #1

: Κορυφές - βαρύκεντρα.png (10.19 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Εντός τετραγώνου ABCD

, πλευράς

, βρίσκεται τυχαίο σημείο

. Το τετράπλευρο

KLMN

έχει ως κορυφές τα βαρύκεντρα των τριγώνων SAB,SBC,SCD,SDA

.

Υπολογίστε το εμβαδόν του KLMN

. Τι είδους τετράπλευρο είναι ?

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κορυφές - βαρύκεντρα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εντός τετραγώνου , πλευράς , βρίσκεται τυχαίο σημείο . Το τετράπλευρο

έχει ως κορυφές τα βαρύκεντρα των τριγώνων .

Υπολογίστε το εμβαδόν του . Τι είδους τετράπλευρο είναι ?

: Κορυφές- βαρύκεντρα.png (17.2 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Με

μέσα των

αντίστοιχα θα ισχύει $\boxed{ML = \dfrac{2}{3}EZ = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}DB = \frac{1}{3}DB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}$

δηλαδή αποτέλεσμα ανεξάρτητο του

, συνεπώς το τετράπλευρο είναι κι αυτό τετράγωνο πλευράς $u = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$ με εμβαδόν $\dfrac{{2{a^2}}}{9}$

Φιλικά Νίκος

chris_konst · #3

KARKAR έγραψε: Εντός τετραγώνου , πλευράς , βρίσκεται τυχαίο σημείο . Το τετράπλευρο

έχει ως κορυφές τα βαρύκεντρα των τριγώνων .

Υπολογίστε το εμβαδόν του . Τι είδους τετράπλευρο είναι ?

: tetragwno.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Χρησιμοποιώ το αρχικό σχήμα:

Προεκτείνουμε τις SM, SN

και αυτές τέμνουν τις πλευρές DC, AD

στα μέσα τους E,Z

αντίστοιχα. Επειδή $\displaystyle{\frac{SM}{SE}= \frac{2}{3} =\frac{SN}{SZ}}$ , θα είναι $MN \parallel EZ$ , οπότε από την προκύπτουσα ομοιότητα των τριγώνων SMN, SEZ

θα είναι και $\displaystyle{ \frac{MN}{EZ} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{2}{3} EZ}$ .

Τα E,Z

είναι μέσα των DC, AD

, άρα $\displaystyle {EZ = \parallel \frac{AC}{2}}$ , οπότε από αυτά και τα προηγούμενα είναι $\boxed{ \displaystyle{MN = \parallel \frac{AC} {3} }}$ .

Αντίστοιχα δείχνουμε ότι και $\displaystyle{KL = \parallel \frac{AC} {3} }$ και $\displaystyle{ML= \parallel \frac{BD} {3}, KN = \parallel \frac{BD} {3} }$ .

Επειδή οι διαγώνιες του τετραγώνου είναι ίσες και κάθετες, έπεται ότι όλες οι πλευρές του KLMN

είναι ίσες, και οι διαδοχικές κάθετες. Άρα το KLMN

είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle {\frac{\delta}{3} = \frac{a\sqrt{2}}{3} }$ , και εμβαδού $\boxed{\displaystyle{ (KLMN)= \frac{2a^2}{9} }}$

Edit: Έβαλα και την εκφώνηση την οποία είχα παραλείψει.

ealexiou · #4

Γειά σε όλους

Μία από τα ίδια...

: Κορυφές - βαρύκεντρα.png (83.13 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Είναι $M_{1}M_{2}=M_{2}M_{3}=M_{3}M_{4}=M_{4}M_{1}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
άρα $KL=LM=MN=NK=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\Rightarrow$ $\boxed{(KLMN)=\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2=\dfrac{2a^2}{9}}$

#5

Και μία με διανύσματα: $\vec {KL} = \vec {AL} - \vec {AK} = \frac {1}{3} ( \vec {AS}+ \vec {AB}+ \vec {AC})- \frac {1}{3} ( \vec {AS}+ \vec {AB})= \frac {1}{3} \vec {AC}$ που είναι ανεξάρτητο του

και μάλιστα ίσο με το $\frac {1}{3}$ του διανύσματος της διαγωνίου. Όμοια τα υπόλοιπα. Άρα έχουμε τετράγωνο με εμβαδόν $\left ( \frac {\sqrt 2}{3} \right ) ^2= \frac {2}{9}$ του αρχικού.

Κορυφές - βαρύκεντρα

Κορυφές - βαρύκεντρα

Re: Κορυφές - βαρύκεντρα

Re: Κορυφές - βαρύκεντρα

Re: Κορυφές - βαρύκεντρα

Re: Κορυφές - βαρύκεντρα

Μέλη σε σύνδεση