Διάστημα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Διάστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Κυρ Ιαν 10, 2010 5:55 pm

Ένα A\subseteq {\mathbb R} περιέχει κάποιο διάστημα (a,b) και επιπλέον, αν x,y\in A τότε \frac{x+y}{2}\in A. Τότε, το A είναι διάστημα.



Λέξεις Κλειδιά:
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Ιαν 10, 2010 11:34 pm

Υποθέτουμε πως το A δεν είναι διάστημα και πως το (a,b) είναι το ευρύτερο διάστημα που περιέχεται στο A , τότε θα υπάρχουν c \in A και z \notin A ώστε c<z<a ή υπάρχουν d \in A και w \notin A ώστε b<w<d.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ισχύει το πρώτο ενδεχόμενο και ονομάζουμε r το supremum των c, που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. Τότε στο διάστημα (r,a) δεν βρίσκεται στοιχείο του A.
Έστω \varepsilon= min (b-a, a-r). Τότε αν πάρουμε x\inA στο A με 0<r-x<\frac {\varepsilon} {2} και y=a+r-x, στο (a,b) θα έχουμε \frac{x+y}{2}\notin A , άτοπο.


Σπύρος Καπελλίδης
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Δευ Ιαν 11, 2010 12:40 am

Καλή προσπάθεια αλλά έχει κάποιες ασάφειες: (1) τι θα πει το ευρύτερο διάστημα που περιέχεται στο A, (2) ποιά είναι η παραπάνω ιδιότητα: το z είναι σταθερό? (3) αν το σύνολο των c που έχουν την παραπάνω ιδιότητα είναι μονοσύνολο ή πεπερασμένο σύνολο πώς βρίσκουμε x\in A με 0<r-x<\epsilon /2? Μάλλον επιλύονται όλα αυτά, αλλά έχω κάποιες απορίες.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιαν 11, 2010 1:04 am

Καραδήμας έγραψε:Καλή προσπάθεια αλλά έχει κάποιες ασάφειες: (1) τι θα πει το ευρύτερο διάστημα που περιέχεται στο A, (2) ποιά είναι η παραπάνω ιδιότητα: το z είναι σταθερό? (3) αν το σύνολο των c που έχουν την παραπάνω ιδιότητα είναι μονοσύνολο ή πεπερασμένο σύνολο πώς βρίσκουμε x\in A με 0<r-x<\epsilon /2? Μάλλον επιλύονται όλα αυτά, αλλά έχω κάποιες απορίες.
Ας κάνω μία απόπειρα να γίνω αναλυτικότερος: Το ευρύτερο διάστημα προκύπτει από την ένωση όλων των διαστημάτων που ανά δύο έχουν κοινά σημεία και περιέχονται στο A. Για τις περιπτώσεις που αναφέρεις του πεπερασμένου συνόλου, έχεις δίκιο, πρέπει να μελετηθούν, αλλά εύκολα προκύπτει πως σε αυτές δεν ισχύει το \frac{x+y}{2}\notin A. Ζητώ συγνώμη για το επιγραμματικό των επιχειρημάτων, αλλά θέλω την κατανόηση σας, γιατί στο tex, που τώρα μαθαίνω, γράφω πολύ δύσκολα.
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Δευ Ιαν 11, 2010 7:35 am

Καλημέρα, πάλι δε μου είναι σαφές το ευρύτερο. Ας υποθέσουμε ότι το A είναι ξένη ένωση άπειρων ανοιχτών διαστημάτων (συν κάτι άλλο). Ποιό είναι το ευρύτερο διάστημα που περιέχεται στο A?


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διάστημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιαν 11, 2010 10:46 am

Η γνώμη μου είναι ότι η πρόσέγγιση του Σπύρου είναι εντάξει. Αν πάρουμε την συνεκτική συνιστώσα του Α που περιέχει το συγκεκριμένο διάστημα που αναφέρεται στην υπόθεση αυτη θα είναι διάστημα. Ας πούμε, με τον συμβολισμό του Σπύρου ότι τα άκρα του είναι a,b (δεν είναι αναγκαίο να είναι ανοικτό). Με r να είναι όπως το όρισε ο Σπύρος είναι r<a<b. Η βασική ιδέα της απόδειξης του Σπύρου είναι ότι μπορούμε να βρούμε κατάλληλο y \in A και x μεταξύ των a,\,b ώστε
(1) y<r<a<x<b
(2) Τα y, x είναι τέτοια ώστε το μέσο του (x,y) είναι στο (r,a) άρα εκτός A.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιαν 11, 2010 12:41 pm

Χρωστάω μια πιο συγκροτημμένη απάντηση και νομίζω πως την έχω στο συνημμένο
ΥΓ Νίκο συγνώμη που δεν πρόλαβα να κοιτάξω τι γράφεις αλλά γράφω στα διαλείμματα, εσύ με καταλάβαίνεις. Με την πρώτη ευκαιρεία θα το κοιτάξω αναλυτικά.
Φιλικά
Συνημμένα
Θεωρούμε το σύνολο Δ των ανοικτών διαστημάτων του.doc
(85.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 51 φορές


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιαν 11, 2010 12:49 pm

Έτσι είναι Νίκο, πολύ καλά το γράφεις. Στο συνημμένο αυτό κάνω:παίρνω την συνεκτική συνιστώσα του δοθέντος διαστήματος.
Ευχαριστὠ
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 13, 2010 3:24 pm

nsmavrogiannis έγραψε:Η γνώμη μου είναι ότι η πρόσέγγιση του Σπύρου είναι εντάξει. Αν πάρουμε την συνεκτική συνιστώσα του Α που περιέχει το συγκεκριμένο διάστημα που αναφέρεται στην υπόθεση αυτη θα είναι διάστημα. Ας πούμε, με τον συμβολισμό του Σπύρου ότι τα άκρα του είναι a,b (δεν είναι αναγκαίο να είναι ανοικτό). Με r να είναι όπως το όρισε ο Σπύρος είναι r<a<b. Η βασική ιδέα της απόδειξης του Σπύρου είναι ότι μπορούμε να βρούμε κατάλληλο y \in A και x μεταξύ των a,\,b ώστε
(1) y<r<a<x<b
(2) Τα y, x είναι τέτοια ώστε το μέσο του (x,y) είναι στο (r,a) άρα εκτός A.
Μαυρογιάννης
Καλησπέρα, δεν είχα καταφέρει να διαβάσω τις προηγούμενες μέρες. Γιατί είναι r<a? Το ίδιο στο συνημμενο: γιατί είναι c_1<a_1? Λεπτομέρειες, απλώς για να σας ευχαριστήσω που ασχοληθήκατε με την ερώτηση.


Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 13, 2010 4:09 pm

Για την ακρίβεια, με απλή επαγωγή βλέπει κανείς ότι αν x,y\in A, x<y, τότε \frac{3x+y}{4},\frac{x+3y}{4}\in A και γενικά \frac{sx+my}{2^n}\in A για κάθε m,s\in {\mathbb N} με m+s=2^n, δηλαδή ένα πυκνό υποσύνολο του (x,y) περιέχεται στο A. Οπότε, c_1=a_1.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Ιαν 13, 2010 10:35 pm

Κάνω στην απόδειξη που έδωσα μία μικρή παράμβαση-διόρθωση (συνημμένο)
Συνημμένα
Θεωρούμε το σύνολο Δ των ανοικτών διαστημάτων του.doc
(106 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές


Σπύρος Καπελλίδης
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 13, 2010 10:45 pm

Καλησπέρα, συγγνώμη για τις απορίες. Κατ' αρχήν, ισχύει c_1=a_1 (μπορώ να το εξηγήσω περισσότερο αν χρειάζεται). Στο συνημμένο, στην περίπτωση Γ2(β) υπάρχει μια εκκρεμότητα: το a_1 μπορεί να ανήκει στο A.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διάστημα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Ιαν 13, 2010 11:00 pm

Καραδήμας έγραψε:Γιατί είναι r<a?
Πράγματι είναι r \leq a (Απολογούμαι. Δικαιολογία: ήταν απάντηση από το σχολείο). Αυτό δεν αλλάζει τα πράγματα και η ιδέα (όπως την κατάλαβα εγώ) του Σπύρου εξακολουθεί να δουλεύει: Αν r=a και το r είναι μεμονωμένο σημείο των στοιχείων του Α που είναι κάτω από το διάστημα μας έχουμε ένα προφανές άτοπο ενώ αν είναι σημείο συσσώρευσης εφαρμόζεται το επιχείρημα του Σπύρου.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 13, 2010 11:04 pm

Όμως, με το συμβολισμό r,a κλπ, μπορεί το a να ανήκει στο A (έχει αναφερθεί αυτό). Κάτι πρέπει να γίνει και γι' αυτή την περίπτωση. Ή έχει γίνει?


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διάστημα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Ιαν 13, 2010 11:37 pm

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή:
A= το σύνολο μας
αυτό έχει την ιδιότητα να περιέχει το μέσο του διαστήματος με άκρα δύο οποιαδήποτε σημεία του και ακόμη να περιέχει κάποιο διάστημα. Αυτό το διάστημα περιέχεται σε κάποια συνεκτική συνιστώσα του A έστω I. Αυτή είναι κάποιο διάστημα. Ας υποθέσουμε ότι είναι φραγμένο (οι 3 περιπτώσεις που είναι μη φραγμένο είναι απλούστερες: η μία τετριμμένη και οι άλλες η μισή δουλειά). Ας υποθέσουμε ότι τα άκρα αυτής της περί ής ο λόγος συνεκτικής συνιστώσας I είναι α<b. H ιδέα του Σπύρου είναι να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να υπάρχουν σημεία του A κάτω από το α και πάνω από το b. Ας πούμε ότι υπάρχουν σημεία του A κάτω από το a. Το σύνολο τους L είναι φραγμένο άνω. Ας ονομάσουμε r το supremum του. Είναι r \leq a.
Aν το r<a ή το r είναι σημείο συσσώρευσης του L το άτοπο πορκύπτει μεν την διαδικασία που πρότεινε ο Σπύρος.
Aν το r=a και το r=a είναι μεμονωμένο σημείο του L τότε έχουμε πάλι άτοπο με παρόμοιο τρόπο.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 13, 2010 11:58 pm

Δεν βλέπω την περίπτωση r=a (που είναι και η μοναδική), r σημείο συσσώρευσης του L και a\in A. Μια ματιά στο συνημμένο δείχνει ότι δεν έχει καλυφτεί.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διάστημα

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Ιαν 14, 2010 12:16 am

Αν το r=a είναι σημείο συσσώρευσης του L τότε μπορούμε να πάρουμε κατάλληλο m κοντά στο a ώστε το ομοιόθτεο του διαστήματος I με άκρα a, b με κέντρο m και λόγο 1/2 να περιέχει το a ως εσωτερικό σημείο. Το I παύει να είναι συνεκτική συνιστώσα.
interval.jpg
interval.jpg (7.88 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές
Παραλείπω τους υπολογισμούς αφού τους έχει καλύψει ο Σπύρος
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Διάστημα

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Πέμ Ιαν 14, 2010 12:25 am

Αυτή είναι και η μοναδική περίπτωση: αν υπάρχει κάποιο y\in A κάτω από το I τότε υπάρχουν και m κάτω από το I οσοδήποτε κοντά στο I (τα σημεία του A είναι πυκνά στο (y,a)). Μετά, το τελευταίο επιχείρημα είναι πειστικό (δεν είχε ξαναεμφανιστεί), ευχαριστώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες