Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

anastasispk · #1

Καλησπέρα!

Σήμερα στο μάθημα του Λογισμού ο καθηγητής αναφέρθηκε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και στους τύπους:

$\displaystyle{cosx = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-... = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\displaystyle{sinx = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-... = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ .

Στη συνέχεια ακολούθησε η απόδειξη της εξής πρότασης: "Η συνάρτηση f(x)=sinx

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $\left ( 0,+\infty \right )$ ."

Ξέρουμε ότι sin (−x) = − sin (x)

. ́Αρα, ή το sin (x) = 0

για κάθε

(δηλ. είναι η μηδενική συνάρτηση) ή λαμβάνει και τιμές διάφορες του

. Αλλά αν

, τότε και (sinx)′ ≡ 0

. ́Ομως ξέρουμε ότι (sin (x))′ = cos (x)

και

, οπότε το sin x

δεν μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση. Άρα υπάρχουν x_1>0

και

, χωρίς βλάβη της γενικότητας, τέτοια ώστε sinx_1 > 0, sinx_2 < 0

και, επειδή η sinx

είναι συνεχής συνάρτηση, θα υπάρχει και τουλάχιστον ένα x_0 > 0

τέτοιο ώστε sinx_0 = 0

.

Σε αυτή την απόδειξη έχω 2 απορίες:
1) Πώς γνωρίζουμε ότι $x_0\epsilon (0,+\infty )$ ;
2) Πώς γνωρίζουμε ότι $x_0 \neq 0$ ;

Ίσως οι απορίες μου να είναι νηπιακές, οπότε ευχαριστώ προκαταβολικά για το χρόνο σας!

maiksoul · #2

anastasispk έγραψε:Καλησπέρα!

1) Πώς γνωρίζουμε ότι $x_0\epsilon (0,+\infty )$ ;
2) Πώς γνωρίζουμε ότι $x_0 \neq 0$ ;

Καλησπέρα, για το 1ο: αν $\displaystyle{ \,\,\,x_0 \ne 0\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\sin x_0 = 0\,\, \Rightarrow \,\sin ( - x_0 ) = 0\,\,\, }$

οπότε ακόμα και αν $\displaystyle{ \,\,\,x_0 \prec 0 \Rightarrow - x_0 \succ 0\,\,\, }$ και το ζητούμενο τότε... είναι το $\ - x_0 \succ 0\,\,\, }$

Γιατο 2ο νομίζω δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι, όπως έχει δοθεί η λύση.Όμως μπορει να ξεπεραστεί το πρόβλημα αυτό εύκολα.

Αν για $\displaystyle{ \,\,\,x_1 \succ 0\,\, }$ είναι $\displaystyle{ \,\,\sin \,\,x_1 \succ 0\,\, }$ τότε για $\displaystyle{ \,\,x_2 \,\, = \pi + x_1 \succ 0\,\, }$ είναι και $\displaystyle{ \,\,\,\sin \,\,x_2 \,\, = \sin (\pi + x_1 ) = - \sin (x_1 ) \prec 0\,\, }$
οπότε με bolzano τελειώσαμε!

anastasispk · #3

Καλησπέρα κ. Μιχάλη και ευχαριστώ για την απάντηση.

Το θέμα είναι ότι ακόμα δε γνωρίζουμε ότι $\sin(\pi) = 0$ γιατί μετά ονομάζουμε τη μικρότερη θετική ρίζα του ημιτόνου $\pi$ . Αυτό μας δημιουργεί πρόβλημα στην ιδιότητα που γράψατε:
$\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ την θα μπορούσαμε να αποδείξουμε μόνο με τον τύπο του ημιτόνου αθροίσματος 2 τόξων.

#4

Στην ερώτηση

anastasispk έγραψε: Στη συνέχεια ακολούθησε η απόδειξη της εξής πρότασης: "Η συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $\left ( 0,+\infty \right )$ ." (*)

δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το

maiksoul έγραψε: $\displaystyle{ \sin (\pi + x_1 ) = - \sin (x_1 ) \prec 0\,\,}$

γιατί χρησιμοποιεί το αποδεικτέο (εξηγώ παρακάτω). Τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Αν ξέραμε ότι $\sin \pi =0$ τότε δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε και η (*) ισχύει αυτόματα.

Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Στο Σχολικό βιβλίο ο ορισμός του ημιτόνου είναι γεωμετρικός (ορθογώνιο τρίγωνο και λοιπά). Το ίδιο και ο ορισμός του $\pi$ (από το εμβαδόν του κύκλου). Σε βαθύτερη μελέτη οι ορισμοί αυτοί δεν είναι δόκιμοι γιατί χρησιμοποιούν αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και θα ήταν επιθυμητό να οριστεί το ημίτονο και το $\pi$ με τρόπο ανεξάρτητο της Γεωμετρίας. Πράγματι, υπάρχουν κάπου

τέτοιοι ορισμοί. Οι περισσότεροι βασίζονται στην Ανάλυση.

Ένας από τους ορισμούς του ημιτόνου είναι μέσω δυναμοσειρών, όπως αναγράφεται στην αρχική ερώτηση.

Το πρόβλημα είναι ότι πρέπει από τον ορισμό και μόνο να αποδειχθούν όλες οι ιδιότητες του ημιτόνου. Μαζί με αυτές πρέπει να οριστεί και ο κατά τα άλλα γνωστός μας $\pi$ και να αποδειχθεί ότι ο ορισμός του έχει ως απόρροια την ιδιότητα $\sin \pi =0$ .

Σωστά, λοιπόν, αναγράφεται το σχόλιο

anastasispk έγραψε:
Το θέμα είναι ότι ακόμα δε γνωρίζουμε ότι $\sin(\pi) = 0$ γιατί μετά ονομάζουμε τη μικρότερη θετική ρίζα του ημιτόνου $\pi$ .

Ένας τρόπος που αποδεικνύουμε την ύπαρξη θετικής ρίζας του ημιτόνου (με βάση τον ορισμό του από την παραπάνω δυναμοσειρά) είναι ο εξής:

Εύκολα βλέπουμε από την δυναμοσειρά ότι $\sin 1 >0$ . Απλά βάζουμε x=1

στην δυναμοσειρά και λαμβάνουμε τους όρους της δυναμοσειράς ανά δύο. Παρατηρούμε ότι $\sin 1 = \left ( 1 - \frac {1}{3!} \right ) + \left ( \frac {1}{5!} - \frac {1}{7!} \right )+... =$ θετικός ως άθροισμα θετικών.

Λίγο πιο δύσκολο (το αφήνω) είναι να δείξουμε, λαμβάνοντας και πάλι τους όρους ανά δύο, ότι $\sin 4 <0$ . Τώρα κάνουμε Bolzano στο διάστημα $[1, \, 4]$ .

Θα ήθελα να προσθέσω ότι το θέμα πολλών ορισμών του ημιτόνου (και των λογαριθμικών/εκθετικών συναρτήσεων) είναι το θέμα της Μεταπτυχιακής Διατριβής του Νίκου Ζουρμπάκη, την οποία εκπόνησε υπό την επίβλεψή μου στο Μαθηματικό Κρήτης. Η διατριβή δεν κυκλοφορεί ακόμα αλλά επίκειται να κυκλοφορήσει σε λίγες μέρες.

Επίσης, στο επικείμενο συνέδριο της ΟΕΦΕ στα Ιωάννινα, τέλη Νοεμβρίου, είμαι προσκεκλημένος ομιλητής και το θέμα μου (τι σύμπτωση) θα είναι σε αυτό τον κύκλο ιδεών. Ειδικότερα, μεταξύ άλλων, θα καταπιαστώ με ένα σφάλμα κυκλικού (φαύλου) ορισμού των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο σχολικό βιβλίο και πώς το παρακάμπτουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

anastasispk · #5

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ κύριε Μιχάλη, είστε κατατοπιστικότατος.

Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Re: Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Re: Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Re: Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Re: Απορία για τριγωνομετρική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση