Όριο

Καραδήμας · #1

Δίνεται $f:[0,1]\to {\mathbb R}$ συνεχής. Να βρεθεί το $\lim\limits_{n\to\infty } n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left (\int\limits_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx\right )^2$ .

#2

Καραδήμας έγραψε:Δίνεται $f:[0,1]\to {\mathbb R}$ συνεχής. Να βρεθεί το $\lim\limits_{n\to\infty } n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left (\int\limits_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx\right )^2$ .

Απάντηση: $\int_0^1f^2(x)dx$ .

Συνοπτικά τα κύρια βήματα: Για κάθε n υπάρχουν $\xi _k$ στο $[k/n, (k+1)/n]\,$ τέτοια ώστε
$\int\limits_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx = \frac{1}{n}f(\xi _k)$ .

Οπότε το δοθέν άθροισμα ισούται $n\sum\limits_{k=0}^{n-1} ( \frac{1}{n}f(\xi _k))^2= \sum\limits_{k=0}^{n-1} f^2(\xi _k)\frac{1}{n}$

που είναι άθροισμα Riemann του ολοκληρώματος στην απάντηση.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση