ΘΕΜΑ Γ2

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #1

Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης f(g(x))=1

είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης f(g(x))=1

είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του -3/2.

ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!

#2

Διάβασε λίγο πιο προσεκτικά τις λύσεις.

Αυτό που γράφεις δεν αναφέρεται πουθενά.

Αναφέρεται ότι η συνάρτηση

με

έχει ως πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .

Στην άλλη λύση αποδεικνύεται ότι η εξίσωση μπορεί να έχει μόνο για $\displaystyle{x \geq -\frac 32}$ .

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #3

κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση άλλά
όλες οι λύσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και όχι
κάθε φορά διαφορετικό.Οσο για τις συμβουλές
κράτα τες για τον εαυτό σου.
Επειδή καποιοί ρωτουν ποιός είμαι
άπαντώ απο την συντακτική ομάδα του
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β της ΕΜΕ.

hsiodos · #4

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!

Θα μας διαφώτιζες υποδεικνύοντας που ακριβώς αναγράφεται αυτό που υποστηρίζεις.

Φιλικά

Γιώργος

parmenides51 · #5

νομίζω οτι αναφέρεται στην 3η λύση του Γ2 (σελ 14 απο 17) εδώ στην σχέση (3)

#6

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση άλλά
όλες οι λύσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και όχι
κάθε φορά διαφορετικό.Οσο για τις συμβουλές
κράτα τες για τον εαυτό σου.
Επειδή καποιοί ρωτουν ποιός είμαι
άπαντώ απο την συντακτική ομάδα του
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β της ΕΜΕ.

1) Ας κάνουμε λοιπόν την εξής υπόθεση: Έστω ότι η συντακτική ομάδα του έκανε λάθος, τότε αν ήταν ΑΠΊΣΤΕΥΤΟ!!! εγώ έχω πολλά προβλήματα με τα μαθηματικά γιατί κάνω αρκετές φορές λάθη και μερικά θέματα δεν μπορώ καν να τα αντιμετωπίσω. Συμπέρασμα: Δεν ήμαστε όλοι ΑΡΙΣΤΟΙ

2) Για μένα Αποστόλη είσαι συνάδελφος και δεν με ενδιαφέρουν μα ούτε και με ΚΟΜΠΛΑΡΟΥΝ οι ΠΕΡΓΑΜΗΝΕΣ ΣΟΥ!!!!

3) Ο χώρος του χαρακτηρίζεται ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ για το ΗΘΟΣ του και εδώ δεν βγάζει ο καθένας τα εσώψυχά του, ούτε "πουλάμε" τη "μούρη" μας, ούτε ανταγωνιζόμαστε, απλά είμαστε ΣΟΒΑΡΑ ΑΡΡΩΣΤΟΙ με τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Στάθης

hsiodos · #7

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!

Θα γίνω πιο συγκεκριμένος. Που ακριβώς αναγράφεται ότι το σύνολο ορισμού της εξίσωσης $\displaystyle{ f(g(x)) = 1\,}$ είναι το $\displaystyle{ \,\left[ { - \frac{3}{2}, + \infty } \right)}$ ;

Γιώργος

MarKo · #8

hsiodos έγραψε:
ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!
Θα γίνω πιο συγκεκριμένος. Που ακριβώς αναγράφεται ότι το σύνολο ορισμού της εξίσωσης $\displaystyle{ f(g(x)) = 1\,}$ είναι το $\displaystyle{ \,\left[ { - \frac{3}{2}, + \infty } \right)}$ ;

Γιώργος

Μάλλον αναφέρεστε στην 3 λύση που δίνεται για το Γ2 και αφορά την συνάρτηση t.

hsiodos · #9

MarKo έγραψε:
hsiodos έγραψε:
ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Στο ερώτημα Γ2 στις προτεινόμενες απαντήσεις του mathematica
τη μια φορά το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το
$\mathbb{R}$ ενώ στην δεύτερη προτεινόμενη λύση το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι οι πραγματικοί αριθμοί χ που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ!!!
Θα γίνω πιο συγκεκριμένος. Που ακριβώς αναγράφεται ότι το σύνολο ορισμού της εξίσωσης $\displaystyle{ f(g(x)) = 1\,}$ είναι το $\displaystyle{ \,\left[ { - \frac{3}{2}, + \infty } \right)}$ ;

Γιώργος
Μάλλον αναφέρεστε στην 3 λύση που δίνεται για το Γ2 και αφορά την συνάρτηση t.

Δεν αναφέρομαι πουθενά. Έχω κάνει μια ερώτηση στον συνάδελφο Αποστόλη Κακαβά και περιμένω την απάντηση.

Γιώργος

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #10

Για το τι εννοώ :το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι όλο το $\mathbb{R}$ επειδή g^2(x) +1

είναι μεγαλύτερο η ίσο
του μηδενός για κάθε

που ανήκει στο $\mathbb{R}$ . όπως για παράδειγμα
μια άρρητη εξίσωση με δεύτερο μέλος το

και πρώτο μια ρίζα
μπορεί να είναι αδύνατη ,αλλά έχει σύνολο ορισμού τα

που ανήκουν στο $\mathbb{R}$ η υπόρριζη ποσότητα είναι μεγαλύτερη
η ίση του μηδενός.

hsiodos · #11

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Για το τι εννοώ :το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι όλο το $\mathbb{R}$ επειδή είναι μεγαλύτερο η ίσο
του μηδενός για κάθε που ανήκει στο $\mathbb{R}$ . όπως για παράδειγμα
μια άρρητη εξίσωση με δεύτερο μέλος το και πρώτο μια ρίζα
μπορεί να είναι αδύνατη ,αλλά έχει σύνολο ορισμού τα
που ανήκουν στο $\mathbb{R}$ η υπόρριζη ποσότητα είναι μεγαλύτερη
η ίση του μηδενός.

Ευχαριστούμε για την διασαφήνιση.Όμως δεν μας είπες

που ακριβώς αναγράφεται ότι το σύνολο ορισμού της εξίσωσης $\displaystyle{ f(g(x)) = 1\,}$ είναι το $\displaystyle{ \,\left[ { - \frac{3}{2}, + \infty } \right)}$ ;

Γιώργος

#12

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Για το τι εννοώ :το σύνολο ορισμού της εξίσωσης
είναι όλο το $\mathbb{R}$ επειδή είναι μεγαλύτερο η ίσο
του μηδενός για κάθε που ανήκει στο $\mathbb{R}$ . όπως για παράδειγμα
μια άρρητη εξίσωση με δεύτερο μέλος το και πρώτο μια ρίζα
μπορεί να είναι αδύνατη ,αλλά έχει σύνολο ορισμού τα
που ανήκουν στο $\mathbb{R}$ η υπόρριζη ποσότητα είναι μεγαλύτερη
η ίση του μηδενός.

Αποστόλη,

Επειδή οι «μαθουσάλες» διδαχτήκαμε διαφορετικά από τον τρόπο που προτείνει το τωρινό βιβλίο της Β’ Λυκείου (και νομίζω καλώς το διδαχτήκαμε) οι εξισώσεις

της μορφής $\boxed{\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = g\left( x \right),n \in {N^*}}$ είναι ισοδύναμες με το σύστημα των σχέσεων $\left\{ \begin{gathered} {\left( {\sqrt[n]{{f\left( x \right)}}} \right)^n} = {g^n}\left( x \right) \\ f\left( x \right) \geqslant 0 \\ g\left( x \right) \geqslant 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots$

Έτσι δεν αναγκαζόμαστε να επαληθεύουμε τις αρχικές εξισώσεις αφού όποιες «περικοπές» για τις τιμές του έχουν ήδη γίνει

από τους περιορισμούς και έτσι αναφέρεται η λύση της εξίσωσης αν το ξανακοιτάξεις

Φιλικά
Στάθης

#13

Ας λύσουμε την εξίσωση $\sqrt{x}=x-2$ του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας της Β Λυκείου.

Αρχικά παρατηρούμε ότι αναφερόμαστε στα μη αρνητικά

ώστε να ορίζονται οι παραστάσεις.

1ος τρόπος:

$\begin{cases} \sqrt{x}=x-2 \\ x-2\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=(x-2)^2 \\ x\geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-5x+4=0 \\ x\geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \textnormal{\ \ \gr ή \ \ } x=4 \\ x\geq 2 \end{cases}$ εκ των οποίων μόνο η δεύτερη ικανοποιεί τον περιορισμό.

2ος τρόπος: (πιο σύνθετος). Η εξίσωση γράφεται $\sqrt{x}+2=x$ συνεπώς συνεχίζουμε τη λύση ως εξής: To 1ο μέλος και το 2ο μέλος (λόγω περιορισμών) είναι θετικά συνεπώς για $x\geq 0$ που είναι το σύνολο ορισμού της εξίσωσης ισοδύναμα έχουμε: $\sqrt{x}+2=x \Leftrightarrow x+4\sqrt{x}+4=x^2$ . Θέτουμε $\sqrt{x}=t\geq 0$ και η προηγούμενη εξίσωση γίνεται:

$t^2+4t+4=t^4 \Leftrightarrow (t-2)(t+1)(t^2+t+2)=0 \Leftrightarrow t=2 \textnormal{\ \ \gr ή \ \ } t=-1$ . Η δεύτερη απορρίπτεται συνεπώς $t=2 \Leftrightarrow x=4$ .

Ερώτηση: Υπάρχει κάποιο λάθος στους δύο διαφορετικούς τρόπους επίλυσης της εξίσωσης; Απάντηση: Φυσικά και όχι!

Και στις δύο περιπτώσεις το σύνολο ορισμού είναι το $[0,+\infty)$ αλλά κατά τη διάρκεια επίλυσης της πρώτης χρειάζονται επιπλέον περιορισμοί τους οποίους θέτουμε. Το ίδιο συμβαίνει και στους 2 διαφορετικούς τρόπους επίλυσης του Γ2 στις λύσεις του mathematica.gr Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης f(g(x))=1

είναι το $\mathbb{R}$ και έτσι ισοδύναμα και για όλα τα $x\in\mathbb{R}$ καταλήγουμε στην g(x)=0

και στον 2ο τρόπο, για να καταλήξουμε στην εξίσωση g(x)=0

χρειάστηκε να υψώσουμε στο τετράγωνο άρα δουλεύουμε πλέον για εκείνα τα

για τα οποία $g(x)\geq -1$ που είναι τα

με $x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$ .

Που βρίσκεται το λάθος λοιπόν στο Γ2; Νομίζω πουθενά!

κ. Κακαβά το mathematica.gr δεν έχει το αλάθητο! Όλοι κάνουμε λάθη και όταν τα κάνουμε οφείλουμε να τα αναγνωρίζουμε. Το έχουμε πράξει πολλές φορές στο παρελθόν... Οι λύσεις υπόκεινται σε συνεχείς ανανεώσεις, προσθήκες, διορθώσεις και μέσα υπάρχουν και αρκετές λύσεις που έδωσαν συνάδελφοι/μαθητές. Η υπόδειξη όμως του λάθους μπορεί να γίνει με πιο όμορφο τρόπο... .

Εγώ συνεχίζω να μην καταλαβαίνω την ύπαρξη του λάθους σε κάποιο σημείο στις λύσεις του Γ2. Εαν μπορείτε να μας το δώσετε να το καταλάβουμε καλύτερα, κάντε το. Εαν πάλι με τα επιχειρήματα που έδωσαν και οι παραπάνω συνάδελφοι έχετε αναθεωρήσει, οφείλετε να το παραδεχτείτε και δημόσια (το έχουμε κάνει οι περισσότεροι εδώ όταν κάνουμε λάθη. Αν μας παρακολουθείτε καιρό θα το έχετε διαπιστώσει. Είναι και μία κίνηση που δεν κοστίζει και την εκτιμούν όσοι ασχολούνται με τα μαθηματικά) μια και εδώ μας διαβάζουν μεταξύ άλλων και μαθητές και οφείλουμε να είμαστε ειλικρινείς μαζί τους ακόμη και στην περίπτωση του λάθους.

Σας περιμένουμε να συμμετέχετε στο mathematica.gr και να μας γνωρίσετε καλύτερα. Θα κερδίσετε κι εσείς αλλά κι εμείς από τις ανταλλαγές απόψεων...

Αλέξανδρος

#14

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση άλλά
όλες οι λύσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και όχι
κάθε φορά διαφορετικό.Οσο για τις συμβουλές
κράτα τες για τον εαυτό σου.
Επειδή καποιοί ρωτουν ποιός είμαι
άπαντώ απο την συντακτική ομάδα του
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β της ΕΜΕ.

Κατά τη γνώμη μου κύριε Κακαβά "Κάθε πρόβλημα έχει μία λύση".

Αν δεν το ασπάζεστε δεν είναι απαραίτητο, ούτε χρειάζεται το ειρωνικό σας ύφος.

Εγώ δεν σας ειρωνεύτηκα, οπότε απαιτώ το ίδιο και από εσάς.

Είναι αναφαίρετο δικαίωμά σας να μην δέχεστε υποδείξεις.

Εμένα όμως μου αρέσει να μου υποδεικνύουν το λάθος που δεν βλέπω, διότι έτσι βελτώνομαι ως μαθηματικός και ως καθηγητής.

Οπότε θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου λέγατε τι στραβό βλέπετε και στις δύο λύσεις.

#15

Αποστόλη, καλησπέρα. Οφείλω να σου πω, ότι αυτό που εσύ πιστεύεις είναι λάθος, κάποιοι από εμάς τους επιμελητές του mathematica, το συζητήσαμε εκτενώς, όχι βέβαια το αν η λύση αυτή είναι λανθασμένη, μιας και είναι ΑΠΟΛΥΤΑ ΣΩΣΤΗ, αλλά το αν θα γράφαμε ή όχι τον επι πλέον περιοσμό $\displaystyle{x\geq \frac{-3}{2}}$ . Kρίναμε ότι καλό ήταν να τον γράψουμε και δεν θεωρήσαμε αναγκαίο να πούμε και τήν άλλη άποψη που γράφεις και που και αυτή είναι σωστή. Ήμουν έτοιμος να σου απαντήσω με ένα παράδειγμα, αλλά με κάλυψε ο Αλέξανδρος.
Ως μέλος της συντακτικής επιτροπής του "ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β", ένα περιοδικό που οι περισσότεροι από εμάς ανελιπώς παρακολουθούμε και στηρίζουμε και έχουμε παλαιότερα στείλλει και άρθρα , θα περίμενα λιγότερη εμπάθεια για τα μέλη του mathematica, τα οποία είναι άτομα με διάθεση προσφοράς όπως και όσοι είστε στην συντακτική επιτροπή των περιοδικών της ΕΜΕ.
ΚΑΛΟ ΑΠΟΓΕΥΜΑ

Ιωάννου Δημήτρης

Ιστιαία Ευβοίας

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #16

Σας ευχαριστώ όλους για τον χρόνο σας
δεν είχα καμιά διάθεση να είμαι ειρωνικός
ούτε έχω καμιά εμπάθεια με το mathematica
μια και πρώτη φορά σήμερα συνδέθηκα,
ούτε κάνω τον σπουδαίο όπως γνωρίζουν
καλά όσοι με ξερουν, ομως επιμένω στην
άποψη μου .
Αποστολής Κ.

#17

Ου με πείσεις, καν με πείσεις.

Αριστοφάνης, 445-386

π.Χ., Αρχαίος Έλληνας κωμωδιογράφος

#18

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:Σ....ΟΜΩΣ ΕΠΙΜΕΝΩ ΣΤΗΝ
ΑΠΟΨΗ ΜΟΥ .
....

Τελικά, είναι πολύ δύσκολο να παραδεχτεί κάποιος ότι υπερέβαλλε ή απλώς έκανε λάθος δημόσια, με το ίδιο σθένος και πάθος
που κατέδειξε ένα "λάθος".

Το έχουμε ζήσει και στο παρελθόν αρκετές φορές.

Ιδιαίτερα την πρώτη φορά, είναι δύσκολο να παραδεχτούμε ότι σφάλλαμε.

Μετά ή συνηθίζουμε ή παύουμε να συμμετέχουμε.

Ως πρώτη ανάρτηση ήταν τουλάχιστον ατυχής.

Ευελπιστώ πως οι επόμενες θα έχουν όμορφες προτάσεις, ασκήσεις, λύσεις και θα είναι πιο εποικοδομητικές για όλους μας.

Τέλος, τα κεφαλαία γράμματα σε forum στο internet είθισται να σημαίνει ότι ΦΩΝΑΖΕΙ αυτός που τα γράφει.

Φιλικά,

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

nikoszan · #19

Μια παρατήρηση.Ισχύει η ισοδυναμία
$\left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ g\left( x \right) \ge - 1\\ x \in {D_g} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ x \in {D_g} \end{array} \right.$ .
Ν.Ζ.

#20

Η λύση είναι μια χαρά !

Όταν λύνουμε μια εξίσωση( η συγκεκριμένη είναι απλή) , είναι ευχής έργο να μπορούμε για διάφορους λόγους να εντοπίζουμε ολόκληρα διαστήματα ή σύνολα που αποκλείεται να περιέχουν ρίζες. Με τον τρόπο αυτό -το ξαναλέω :σε πιο σύνθετα προβλήματα ή όπου εμείς θεωρούμε χρήσιμο - η εξίσωση ...εξασθενεί και τελικά λύνεται πιο εύκολα.

Κλείνοντας, θέλω και ομολογήσω ότι στεναχωριέμαι όταν στο mathematica γίνονται παρεμβάσεις από αναγνώστες που δεν έτυχε ίσως να ακούσουν ή να καταλάβουν ότι το μεγαλείο σε αυτό το χώρο είναι ότι όλοι μας μπορούμε να είμαστε το ίδιο περήφανοι και για τις σωστές αλλά και για τις λάθος λύσεις μας ,για τις ορθές αλλά και τις λάθος εκτιμήσεις μας , όσο κι αν αυτό ακούγεται περίεργο !Το μεγαλείο μας είναι η ευγένεια στην επικοινωνία και η ανάδειξη της συναδελφικής ιδιότητας σε ύψιστο χαρακτηριστικό.

Σίγουρα η ένταση των ημερών είναι μεγάλη και επομένως είναι ανάγκη όλοι μας να δείχνουμε κατανόηση στις παρεμβάσεις μας και κυρίως στο ύφος που προσδίδουμε σε αυτές.

Εύχομαι το νέο μέλος μας να είναι διαρκώς κοντά μας και μάλιστα να είναι μαζί μας και στην επόμενη ..κρασοσύναξη στα Εξάρχεια ! Στην ΕΜΕ έχουμε τόσους φίλους και ένα ποτήρι - το μόνο που μας απέμεινε - το κερνάμε με αγάπη σε κάθε συνάδελφο !

Αρκετή πίεση αντέξαμε, καιρός να ξεδώσουμε λίγο !

Μπάμπης

ΘΕΜΑ Γ2

ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Μέλη σε σύνδεση