Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

iolis · #1

Είναι από διαγωνισμό του MIT 2008,αν θυμάμαι καλά.
Δεν το έχω λύσει και δεν ξέρω αν λύνεται με τη σχολική ύλη, αλλά μου αρέσει.
Το ολοκλήρωμα είναι $\int\limits_0^1 {\ln x \cdot \ln \left( {1 - x} \right)dx}$ .
Τα λέμε το βράδυ.

#2

Γιάννη καλησπέρα...
Το ολοκλήρωμα που στέλνεις φυσικά και δεν είναι ορισμένο,αλλά είναι καραμπινάτα γενικευμένο α'είδους.
Αρα αυτό αυτομάτως το καθιστά δύσκολο,αν οχι αδύνατο στο συγκεκριμένο,να το προσεγγίσεις σχολικά.

#3

Πράγματι το εν λόγω ολοκλήρωμα είναι γενικευμένο! Στοιχηματίζω ότι βγαίνει και με τη βοήθεια μιγαδικής ανάλυσης! Γράφω εν τάχει τη λύση μου καθώς πρέπει να φύγω. Αν υπάρχει πρόβλημα θα το συμπληρώσω αργότερα που θα γυρίσω!

1) Καταρχήν η σειρά Laurent της συνάρτησης ln(1-x)

είναι $-\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$

2) Άρα το εν λόγω ολοκλήρωμα είναι ίσο με $-\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\int_0^1 x^n lnxdx$ (έκανα εναλλαγή αθροίσματος και ολοκληρώματος)

3) Το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_0^1 x^n lnxdx$ ισούται με $-\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}$ [βγαίνει εύκολα με τη βοήθεια παραγοντικής ολοκλήρωσης και του γεγονότος ότι $\displaystyle\lim_{x\to 0} x^n lnx = 0$ (για όλα τα θετικά

)]

4) Άρα το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)^2}$ .

5) Διασπάμε το $\displaystyle\frac{1}{n(n+1)^2}$ σε απλά κλάσματα οπότε $\displaystyle\frac{1}{n(n+1)^2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}$

6) Τότε όμως το $\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)$ και το τελευταίο (μπορείτε να το δείτε σαν τηλεσκοπικό άθροισμα και να κάνετε χρήση ότι $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ , προσοχή όμως στις αλλαγές του δείκτη) ισούται με

$\boxed{\displaystyle\int_0^1 lnx ln(1-x)dx = 2-\frac{\pi^2}{6}}$

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει καμιά πράξη λάθος από επιπολαιότητα και γρηγοράδα. Το αποτέλεσμα με ώθησε να κάνω την εικασία ότι βγαίνει και με μιγαδική ανάλυση.

Υ.Γ.2 Σε καμία περίπτωση δεν ανήκει σε σχολικού επιπέδου άσκηση γι'αυτό το βραδάκι θα τη βάλω στα θέματα των ΑΕΙ.

#4

Έχω μια πρόχειρη και όχι τελειωμένη ιδέα
Θεωρείς το $\int^1_x...$ με παραγοντική $t\prime ...$
το όριο εκτός του ολοκληρώματος που θα προκύψει στην παραγοντική υπολογίζεται εύκολα αν πολλαπλασιάσεις και διαιρέσεις με 1-t

για το 1 και με

για το 0
μεσα στο υπόλοιπο κομμάτι θα εμφανιστεί το $\int^1_x \frac{tlnt}{1-t}$
To $\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+...$
Ολοκληρώνεις όλους τους όρους της σειράς με παραγοντικές και παίρνεις όρια
Το αποτελεσμα που βρήκα στο Mathematica είναι $2-\frac{\pi^2}{6}$ διότι θα εμφανιστεί και η σειρά $\frac{1}{n^2}$ που οπως είναι γνωστο είναι ίση με $\frac{\pi^2}{6}$

Μόλις είδα ότι με πρόλαβε ο Αλέξανρος με μιγαδική ανάλυση θα προσπαθήσω αργότερα χωρίς ισως πω και ενα παραμύθι

#5

Παιδιά,για να μην κουραζόμαστε,το ΜΙΤ έχει δώσει και τη λύση.Και σίγουρα δεν είναι σχολική.

iolis · #6

Έκανα μια σκέψη σαν αυτή που πρότεινε ο Ροδόλφος και υπέθεσα ότι μπορεί να υπολογίζεται χωρις αυτή τη ''φασαρία''.
Ευχαριστώ για τη βοήθεια. Θα στείλω κάτι ''παρόμοιο'' που έχω κατά νου, να μου πείτε τη γνώμη σας.
Καλό βράδυ.

#7

Δυστυχώς χρειάζεται η φασαρία αν δεν πάμε με διπλό ή μιγαδικές
Επιβεβαιώνω την λύση μου προσθέτοντας δυό λεπτομέρειες
Μετά την πρώτη παραγοντική το $\int^1_0 ln(1-x)\,dx=-\int^1_0 (1-x)\prime ln(1-x)\,dx$
από εκεί θα περισσέψει ένας 1 ο άλλος που θα δώσει το 2 οφείλεται στο ότι η σειρά ξεκινά από η=1 και όχι η=0 Τα υπόλοιπα όπως τα είπαμε...
Δεν χρειάζεται να γράψω αναλυτικά την λύση μου μια που υπάρχουν ήδη δυο

iolis · #8

Στο συνημένο φαίνεται τι σκέφτηκα. Έλεγα μήπως μπορούσα να κάνω το ίδιο κάνοντας την $f\left( x \right) = \ln x \cdot \ln \left( {1 - x} \right)$ συνεχή στο $\left[ {0,1} \right]$ .
Ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια. Θα τη δω ξανά και αν μου κατέβει κάτι θα σας ενημερώσω.
Καλημέρα.

#9

ΠΑΡΑΜΥΘΙ
Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε στην πόλη ένα καλό και έξυπνο παιδί. Ένα βράδυ περπατούσε σ’ έναν απόμερο και κακοφωτισμένο δρόμο χωρίς να καταλάβει ότι από πάνω του πέταγε ένα κιρκινέζι. Κι’ ούτε πρόσεξε τι έγραφε ένα μικρό χαρτάκι που έφερε ο αέρας στα πόδια του. Όμως τότε έγινε κάτι παράξενο. Το πουλί κατέβηκε και προσγειώθηκε δίπλα στο χαρτάκι. Δανείστηκε λίγο απ’ το φως μιας λάμπας του δρόμου κι άρχισε να θάβει το χαρτί μέσα στο λιγοστό χώμα της διπλανής αυλής. Το παιδί παραξενεύτηκε και μόλις που πρόλαβε να δει τι έγραφε το χαρτί. Ήταν λοιπόν τυπωμένο ένα περίεργο σύμβολο , κάτι σαν φιδάκι και μέσα είχε κάτι γράμματα, κάπως έτσι : $\displaystyle\int^1_0 \frac{lnt}{1+t}\,dt$ . Αυτή η εικόνα χαράχτηκε στο μυαλό του , αλλά δεν έδωσε περισσότερη σημασία και το ξέχασε.
Στο μέρος λοιπόν που το πουλί είχε θάψει το χαρτάκι ξεφύτρωσε ένα κυπαρίσσι . Ήταν ένα μάλλον περίεργο κυπαρίσσι γιατί δεν ψήλωνε όπως τα άλλα δέντρα. Ήταν ένα κυπαρίσσι νάνος κι ένιωθε λυπημένο γι’ αυτό. Όμως είχε κι άλλη μια παραξενιά. Ήξερε ν’ ακούει! Ακόμα και τις σκέψεις…
Μετά από λίγο καιρό το παιδί πέρασε πάλι από το ίδιο μέρος και θυμήθηκε πώς είχε γεννηθεί το δέντρο. Μια τρελή ιδέα κατέβηκε στο μυαλό του συνδέοντας το κυπαρίσσι με το φιδάκι, που στο σχολειό του είχε μάθει πια πως τo ‘λεγαν ολοκλήρωμα. Τότε έγινε κάτι ακόμη πιο παράξενο , πιο μαγικό. Το κυπαρίσσι ψήλωσε απότομα κατά 1 μέτρο. Το παιδί, που δεν πίστευε στα θαύματα, δεν έδωσε και πάλι σημασία. Σκέφτηκε ότι απλά το κυπαρίσσι είχε ψηλώσει κανονικά και πως αυτός δεν το ‘χε παρατηρήσει. Αλλά τα παράξενα δεν τέλειωσαν ακόμα. Την δεύτερη φορά που το παιδί ξανασκέφτηκε το δέντρο και τ’ ολοκλήρωμα, το κυπαρίσσι ψήλωσε πάλι κατά 1/4 του μέτρου, ξέροντας πως το παιδί είχε βάλει το νερό στο αυλάκι.
Έτσι και την τρίτη φορά που το παιδί έκανε τις ίδιες σκέψεις το κυπαρίσσι ψήλωσε πάλι κατά 1/9 του μέτρου και το ίδιο γινόταν κάθε φορά που το παιδί έκανε αυτές τις σκέψεις , νιώθοντας ευτυχισμένο που κάποιος του έδινε σημασία.
Επιτέλους, το παιδί κατάλαβε τι γινόταν και τι προσπαθούσε να του πει το δέντρο. Τότε ήταν που κατάφερε να υπολογίσει το” άθροισμα”
1+1/2^2+1/3^2+...

και μετά το ολοκλήρωμα. Καταχαρούμενο μετά τις άπειρες σκέψεις που είχε κάνει για τον υπολογισμό, ο πρώτος στον οποίο ανακοίνωσε το αποτέλεσμά του , ήταν ο νάνος το κυπαρίσσι.
Αμέσως, μέσα από τον κορμό του κυπαρισσιού, το δανεικό φως που ήταν κλεισμένο εκεί και στα κλαδιά του, ξεκίνησε τον δρόμο της επιστροφής για την λάμπα του δρόμου, αφήνοντας όμως λίγη απ’ την λάμψη του να φωτίζει τους δυο αχώριστους πλέον φίλους.
Κανείς δεν κατάλαβε το κιρκινέζι που κρυβόταν στις σκιές τους.
Μήπως θέλετε κι εσείς να υπολογίσετε το συνολικό ύψος που πήρε το χαρούμενο πια κυπαρίσσι και την τιμή του ολοκληρώματος ? Πιστέψτε με, ότι ίσως και να φτάνει τόσο λίγο για να νιώσετε, αν όχι ευτυχισμένοι, τουλάχιστον όμορφα. Κοιτάτε ψηλά, το κιρκινέζι ονειρεύεται το δάσος, αλλά ζει στην πόλη και δεν είναι απίθανο να βρείτε ένα δέντρο που να μπορεί και ν’ ακούει, όταν το περιτύλιγμα μιας καραμέλας πέσει στα πόδια σας.

Η λύση βρίσκεται στο συνημμένο χωρίς μιγαδικές ή Fourrier

mathxl · #10

Κάτι παρόμοιο εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=119389

#11

iolis έγραψε: $\int\limits_0^1 {\ln x \cdot \ln \left( {1 - x} \right)dx}$ .

Για την ιστορία: είχα σταχυολογήσει διάφορα ολοκληρώματα, όπως το δεδομένο, που η απάντηση οδηγούσε στο
$\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}= \frac{\pi ^2}{6}$ ή τις παραλλαγές του.
Ένα διαφορετικό από το παραπάνω είναι το $\int_{0}^{1}\frac{ln(1-x)}{x}dx$ , το οποίο συζητήθηκε στο mathematica.
Δυστυχώς δεν έχω πρόχειρο το αρχείο μου για να γράψω εδώ τα υπόλοιπα ολοκληρώματα που σταχυολόγησα (αυτό τον καιρό μετακομίζω...). Όμως είχα ψάξει πολύ το θέμα και στο τέλος εντόπισα όλα αυτά τα ολoκληρώματα στις εργασίες του Euler.
Εξαίρεση αποτελούσε το
$\int_{0}^{\infty}log(1-e^{-x})dx = -\frac{\pi ^2}{6}$
το οποίο βρήκα ο ίδιος. Δεν αμφιβάλλω όμως ότι είναι γνωστό, καθώς πριν το 1900 τέτοιου ίδους ολοκληρώματα είχαν μελετηθεί ευρέως.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση