Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0)=1

και $f\,'(x)+{{f}^{2}}(x)=2f(x)$ για κάθε $x\in\mathbb R$

Μπάμπης

(Ενώ την έφτιαξα για κάποιο λόγο, τώρα για να τη λύσω κάνω αρκετά πραγματάκια.Είναι όντως έξυπνη ή δε βλέπω κάτι από τη ..χαρά μου ;

)

dennys · #2

Πολ'ζω με $\displaystyle e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}$ και έχουμε $(f(x)e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}){'}=2f(x)e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}$

$g{'}(x)-2g(x)=0\Rightarrow (g(x)e^{-2x}){'}=0\Rightarrow g(x)=e^{2x}\Rightarrow f(x)=\cfrac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}$ ,λίγο

συνοπτικά ,χωρίς να γράφω ακριβώς για τις σταθερές . Ζητώ συγγνώμη απο τον Μπάμπη ,θα την φτιάξω μετά.

Διονύσης

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση με και $f\,'(x)+{{f}^{2}}(x)=2f(x)$ για κάθε $x\in\mathbb R$

Μπάμπης

(Ενώ την έφτιαξα για κάποιο λόγο, τώρα για να τη λύσω κάνω αρκετά πραγματάκια.Είναι όντως έξυπνη ή δε βλέπω κάτι από τη ..χαρά μου ; )

Καλησπέρα, Μπάμπη,

δε γνωρίζω πόσο πολύπλοκη είναι για ένα μαθητή λυκείου, αλλά πρόκειται για διαφορική εξίσωση Bernoulli.

Η κλασσική αντιμετώπιση εδώ είναι να διαιρέσουμε τη δοθείσα με f^2(x)

, να θέσουμε $u(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ και να παρατηρήσουμε ότι

u'(x)+2u(x)=1

η οποία λύνεται πολλαπλασιάζοντας με τον ολοκληρωτικό παράγοντα $e^{2x}$ και δίνει

$u(x)=\dfrac{e^{-2x}+1}{2}$ , κτλ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Atemlos · #4

Ήθελα να ρωτήσω πως γίνεται η δικαιολόγηση ότι η συνάρτηση είναι μη μηδενική για να διαιρέσουμε ;

#5

Atemlos έγραψε:Ήθελα να ρωτήσω πως γίνεται η δικαιολόγηση ότι η συνάρτηση είναι μη μηδενική για να διαιρέσουμε ;

Πολύ εύκολα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathxl · #6

Atemlos έγραψε:Ήθελα να ρωτήσω πως γίνεται η δικαιολόγηση ότι η συνάρτηση είναι μη μηδενική για να διαιρέσουμε ;

$f'\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) = 0 \Rightarrow {\left( {f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) - 2} \right)dt} }}} \right)^\prime } = 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( 0 \right) = 1}$
$f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) - 2} \right)dt} }} = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ - \int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) - 2} \right)dt} }} > 0$
και διαιρούμε.

#7

dennys έγραψε:Πολ'ζω με $\displaystyle e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}$ και έχουμε $(f(x)e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}){'}=2f(x)e^{\int_{0}^{x}f(t)dt}$

$g{'}(x)-2g(x)=0\Rightarrow (g(x)e^{-2x}){'}=0\Rightarrow g(x)=e^{2x}\Rightarrow f(x)=\cfrac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}$ ,λίγο

συνοπτικά ,χωρίς να γράφω ακριβώς για τις σταθερές . Ζητώ συγγνώμη απο τον Μπάμπη ,θα την φτιάξω μετά.

Διονύσης

Διονύση, στο πρώτο βήμα η παρένθεση του πρώτου μέλους που έχεις γράψει είναι η δεύτερη παράγωγος μιας

και η σχέση h'' = 2h

με καθυστερούσε. Βιάζεσαι ή υποτιμάς τα εύκολα = χάσιμο χρόνου !!!. Άλλο να το λες , άλλο να το εφαρμόζεις πάντα ! Τώρα που το ξανακοιτάζω, είχα κάνει και ένα τυπογραφικό με μια παράγωγο στο β΄μέλος.Θέλει

αντί για

! Για αυτό είχα αλλάξει μέθοδο και ακολούθησα έναν τρόπο λύσης που είχα δει από το Βασίλη Μαυριφρύδη σε ένα παρόμοιο θέμα,πολύ καλόν βέβαια, αλλά λίγο πιο μακρύ.

Σε ευχαριστώ πολύ.

(Για να μην έχουμε στον εκθέτη το ολοκλήρωμα που φοβίζει, μπορούμε να θεωρήσουμε μια αρχική

της συνάρτησης

με

και να εργασούμε ακριβώς παρόμοια.)

konstantogeo · #8

ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος

${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)=2f(x)\Leftrightarrow \,{f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)=0\Leftrightarrow$

${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)+1=1\Leftrightarrow {f}'(x)+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow$

$(f(x)-1{)}'+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \overset{f(x)-1=g(x)}{\mathop \Leftrightarrow }\,{g}'(x)+{{g}^{2}}(x)=1\Leftrightarrow$

$\frac{{g}'(x)}{1-{{g}^{2}}(x)}=1\Leftrightarrow \int{\frac{{g}'(x)}{1-{{g}^{2}}(x)}dx=\int{dx\overset{\begin{smallmatrix} u=g(x) \\ \frac{du}{dx}={g}'(x) \end{smallmatrix}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}\int{\frac{1}{1-{{u}^{2}}}du=}}\int{dx}\Leftrightarrow$

$\ln \left| 1-u \right|-\ln \left| 1+u \right|=2x+c\Leftrightarrow \ln \left| 2-f(x) \right|-\ln \left| f(x) \right|=2x+c\Leftrightarrow$

$\ln \left| \frac{2-f(x)}{f(x)} \right|=2x+c$

Για x=0:c=0

$\ln \left| \frac{2-f(x)}{f(x)} \right|=2x\Leftrightarrow \left| \frac{2-f(x)}{f(x)} \right|={{e}^{2x}}\Leftrightarrow$

$\left| 2-f(x) \right|={{e}^{2x}}f(x)\Leftrightarrow 2-f(x)=\pm {{e}^{2x}}f(x)\overset{f(0)=1}{\mathop{\Leftrightarrow }}$

$2-f(x)={{e}^{2x}}f(x)\Leftrightarrow f(x)\left( {{e}^{2x}}+1 \right)=2\Leftrightarrow f(x)=\frac{2}{{{e}^{2x}}+1}$

**************************
edit

διαγραφή συνημμένου
η απάντηση σε $\LaTeX$

Φωτεινή

unknown_x · #9

konstantogeo έγραψε:ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος

μου φαινεται ολόσωστη και ιδανικά λυμένη !

ωστοσο αμφιβαλλω αν η ασκηση αυτη ειναι επιπεδου λυκείου. π.χ. διδάσκεται στο λυκειο η τεχνικη μετατροπης γινομενου κλασματων σε αθροισμα κλασματων ?

mathxl · #10

unknown_x έγραψε:
ωστοσο αμφιβαλλω αν η ασκηση αυτη ειναι επιπεδου λυκείου. π.χ. διδάσκεται στο λυκειο η τεχνικη μετατροπης γινομενου κλασματων σε αθροισμα κλασματων ?

Ναι διδάσκεται στην β λυκείου (άλγεβρα γενικής πολυώνυμα) και η λύση έχει πρόβλημα την στιγμή που διαιρούμε με 1-g^2(x)

και δεν έχουμε δείξει αν μηδενίζεται.

unknown_x · #11

mathxl έγραψε:
unknown_x έγραψε:
ωστοσο αμφιβαλλω αν η ασκηση αυτη ειναι επιπεδου λυκείου. π.χ. διδάσκεται στο λυκειο η τεχνικη μετατροπης γινομενου κλασματων σε αθροισμα κλασματων ?
Ναι διδάσκεται στην β λυκείου (άλγεβρα γενικής πολυώνυμα) και η λύση έχει πρόβλημα την στιγμή που διαιρούμε με και δεν έχουμε δείξει αν μηδενίζεται.

εχεις δικιο θα πρεπε να βαλει σε κεινο το σημειο έναν περιορισμο για να μπορεσει να διαιρεσει, και στη συνεχεια μετα τη λυση που βρηκε ξεχωριστά θα "ανακαλυπτε" οτι αν 1-g^2(x)=0

οι συναρτησεις που προκύπτουν δεν ικανοποιουν την δεδομενη σχεση αρα αποκλειεται 1-g^2(x)=0

και αρα του μενει μονο αυτη που εχει βρει και τωρα.

σου ειναι ευκολο να μου υποδειξεις σε ποιο σημειο των πολυωνυμων στη β λυκειου διδασκεται η τεχνικης μετατροπης γινομενου κλασματων σε αθροισμα κλασματων ?

φιλικα

mathxl · #12

Είναι εφαρμογή πάνω στην ισότητα πολυωνύμων. Δηλαδή στο παλιό βιβλίο κεφ2 πρώτη παράγραφος ενώ στο καινούργιο κεφ4 πρώτη παράγραφος. Προσωπικά πάντα τους κάνω τέτοια άσκηση και τους λέω να την έχουν υπόψιν τους για την γ λυκείου.
Επίσης στην σελίδα 315 της κατεύθυνσης της γ υπάρχει σεχτική άσκηση και το βιβλίο φωτογραφίζει την τεχνική. Ασκήσεις που εύκολα μετατρέπονται ΄και σε εφαρμογές του ορισμένου.

unknown_x · #13

εχεις δικιο στην εφαρμογη της γ λυκειου διδασκεται ξεκαθαρα !

#14

konstantogeo έγραψε:ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος

Καλησπέρα,

Επειδή δε μπορώ να διαβάσω λύσεις σε συνημμένα αρχεία .doc, είναι εύκολο να γραφτεί η λύση σε tex?

Από τα παραπάνω σχόλια υποθέτω ότι η εξίσωση αντιμετωπίζεται ως μια χωριζομένων μεταβλητών.

Είναι μια κλασσική μέθοδος, αλλά στο σχολείο φαίνεταιλίγο πιο στριφνή με πλήρη αιτιολόγηση.

Για άλλη μια φορά μου ήρθε στο νου μια εργασία του κ. Γιάννη Θωμαΐδη για τις διαφορικές εξισώσεις στο λύκειο/ Πανελλαδικές.

Φιλικά,

Αχιλλέας

konstantogeo · #15

δεν ξέρω (ακόμα;) να γράφω με tex.Θα προσπαθησω να μάθω,αλλά βλέπω να αργεί.

#16

konstantogeo έγραψε:δεν ξέρω (ακόμα;) να γράφω με tex.Θα προσπαθησω να μάθω,αλλά βλέπω να αργεί.

Καλησπέρα. Αν το προσπαθήσετε θα δείτε πως δεν είναι και τόσο δύσκολο.
Μπορείτε με copy-paste των μαθηματικών τύπων να γράψετε μία χαρά.
Διαβάστε τις οδηγίες που βρίσκονται στο σχετικό φάκελο.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Χρήστος

dennys · #17

O φίλος χρησιμοποιεί αόριστα και βρίσκει και λάθος συνάρτηση στο τέλος.

Προφανώς για λύκειο αυτή η λύση δεν ενδείκνυται.

unknown_x · #18

konstantogeo έγραψε:ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος

${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)=2f(x)\Leftrightarrow \,{f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)=0\Leftrightarrow$

${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)+1=1\Leftrightarrow {f}'(x)+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow$

$(f(x)-1{)}'+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \overset{f(x)-1=g(x)}{\mathop \Leftrightarrow }\,{g}'(x)+{{g}^{2}}(x)=1\Leftrightarrow$

Συμπλήρωμα

Λόγω των αρχικών συνθηκών για τον τύπο της συνάρτησης ισχύει ${\color{blue}f(x)\neq 0}$ και ${\color{blue}f(x)\neq 2}$ (χωρίς αυτό να σημαίνει πως ενδεχομένως για μερικά μόνο x να ισχύει η ισότητα), οπότε διαδοχικά προκύπτει

${\color{blue}f(x)\neq 0\Leftrightarrow -f(x)\neq 0\Leftrightarrow 1-f(x)\neq 1\Leftrightarrow f(x)-1\neq -1\Leftrightarrow g(x)\neq -1\Leftrightarrow g(x)+1\neq 0 (1)}$
και
${\color{blue}f(x)\neq 2\Leftrightarrow f(x)-1\neq 1\Leftrightarrow g(x)\neq 1\Leftrightarrow 1-g(x)\neq 0 (2)}$

απ'τις σχέσεις (1) και (2) με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει ότι ${\color{blue}1-{{g}^{2}}(x)\neq 0}$

$\frac{{g}'(x)}{1-{{g}^{2}}(x)}=1\Leftrightarrow \int{\frac{{g}'(x)}{1-{{g}^{2}}(x)}dx=\int{dx\overset{\begin{smallmatrix} u=g(x) \\ \frac{du}{dx}={g}'(x) \end{smallmatrix}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}\int{\frac{1}{1-{{u}^{2}}}du=}}\int{dx}\Leftrightarrow$

${\color{blue} -}\ln \left| 1-u \right|{\color{blue} +}\ln \left| 1+u \right|=2x+c\Leftrightarrow {\color{blue} -}\ln \left| 2-f(x) \right|{\color{blue} +}\ln \left| f(x) \right|=2x+c\Leftrightarrow$

$\ln \left| {\color{blue}\frac{f(x)}{2-f(x)}} \right|=2x+c$

Για

$\ln \left| {\color{blue}\frac{f(x)}{2-f(x)}} \right|=2x\Leftrightarrow \left| {\color{blue}\frac{f(x)}{2-f(x)}} \right|={{e}^{2x}}\Leftrightarrow$

$\left| {\color{blue}f(x)} \right|={{e}^{2x}}{\color{blue}[2-f(x)]\Leftrightarrow {\color{blue}f(x)}=\pm {{e}^{2x}}{\color{blue}[2-f(x)]}\overset{f(0)=1}{\mathop{\Leftrightarrow }}$

${\color{blue}f(x)}={{e}^{2x}}{\color{blue}[2-f(x)]}\Leftrightarrow f(x)\left( {{e}^{2x}}+1 \right)=2{\color{blue}{{e}^{2x}}}\Leftrightarrow f(x)=\frac{2{\color{blue}{{e}^{2x}}}}{{{e}^{2x}}+1}$

**************************
edit

διαγραφή συνημμένου
η απάντηση σε $\LaTeX$

Φωτεινή