Υπολογισμός παράστασης

hlkampel · #1

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\rm A} = {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} + \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} + {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} - 8$

erxmer · #2

Aν έκανα σωστά τις πράξεις το αποτέλεσμα είναι $\frac{-6}{25}$ .

hlkampel · #3

erxmer έγραψε:Aν έκανα σωστά τις πράξεις το αποτέλεσμα είναι $\frac{-6}{25}$ .

Αυτό βγάζω και εγώ. Αν θέλεις γράψε και την λύση σου.

BAGGP93 · #4

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα.Μία ιδέα για την άσκηση.

$\displaystyle{\left(\sqrt{\frac{3}{5}}}+\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^6=\left(\left(\sqrt{\frac{3}{5}}}+\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2\right)^3=\left(1+\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^3}$

$\displaystyle{\left(\sqrt{\frac{3}{5}}}-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^6=\left(\left(\sqrt{\frac{3}{5}}}-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2\right)^3=\left(1-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^3}$

Συνεπώς,

$\displaystyle{A=\left(1+\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^3+\left(1-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^3}-8=$

$\displaystyle{=\left[1+\frac{2\sqrt{6}}{5}+1-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right]\cdot\left[\left(1+\frac{2\sqrt{6}}{5}+1-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2-3\left(1+\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)\left(1-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)\right]-8}$

$\displaystyle{=2\cdot\left(4-3\left(1-\frac{24}{25}\right)\right)-8}$

$\displaystyle{=2\cdot\left(4-\frac{3}{25}\right)-8}$

$\displaystyle{=-\frac{6}{25}}$

Garfield · #5

hlkampel έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\rm A} = {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} + \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} + {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} - 8$

Θέτουμε $\displaystyle{ x=\sqrt{ \frac{3}{5} } + \sqrt{ \frac{2}{5} } \textnormal{ \gr και } y=\sqrt{ \frac{3}{5} } - \sqrt{ \frac{2}{5} } }$ . Tότε $\displaystyle{ A = x^{6} +y^{6} -8}$

Είναι, $\displaystyle{ x+y =2 \sqrt{ \frac{3}{5} } ,\quad x-y =2 \sqrt{ \frac{2}{5} } , \quad xy=\frac{1}{5} }$ .

Έτσι βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{ A = (x^{3})^{2} + (y^{3})^{2} -8 = (x^{3} + y^{3} )^{2} - 2(xy)^{3} -8 = (x+y)^{2} ( x^{2} -xy+ y^{2})^{2} -2(xy)^{2} - 8= (x+y)^{2} \left( (x+y)^{2} -3xy \right)^{2} -2(xy)^{3} -8 }$

Aντικαθιστώντας τώρα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \boxed{ A =- \frac{6}{25} }$

hlkampel · #6

hlkampel έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\rm A} = {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} + \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} + {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^6} - 8$

Ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Δίνω και γω αυτή που είχα κατά νου.

Αν $\displaystyle\alpha = {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} + \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^2} = 1 + \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$ και $\displaystyle\beta = {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^2} = 1 - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$ ισχύει:

$\displaystyle\alpha + \beta + ( - 2) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{Euler} {\alpha ^3} + {\beta ^3} - 8 = 3\alpha \beta \cdot \left( { - 2} \right) \Leftrightarrow {\rm A} = - 6\left( {1 + \frac{{2\sqrt 6 }}{5}} \right)\left( {1 - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\rm A} = - 6\left( {1 - \frac{{24}}{{25}}} \right) \Leftrightarrow {\rm A} = - \frac{6}{{25}}$

Υπολογισμός παράστασης

Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Μέλη σε σύνδεση