ΘΑΛΗΣ-2012

#1

Αυτά είναι τα θέματα του σημερινού διαγωνισμού !

Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν !

Στο κέντρο μας είδα μεγάλη συμμετοχή μαθητών,κυρίως γυμνασίου , και χαρήκαμε ιδαιτέρως .Αλλά και στην Α΄Λυκείου υπήρξε σημαντική προσέλευση.
Η πατρίδα θέλει να χαμογελάσει , έστω μέσα στη βαρυχειμωνιά.Το χαμόγελο δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να σβήσει.
Εμείς, οι δάσκαλοι, μπορούμενα κάνουμε πολλά κι αυτό κάνουμε !

Μπάμπης

Andreas Dalaoutis · #2

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν σήμερα.

Για το θέμα 2 της Γ' Λυκείου.

Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των f,g

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, η εξίσωση f(x)=g(x)

έχει μία μόνο ρίζα, επομένως απαιτούμε $D=0\Leftrightarrow (b-c)^2+4a(b-c)=0\Leftrightarrow (b-c)(b-c+4a)=0$ και αφού $b\neq c$ παίρνουμε ότι:

$c=4a+b \qquad (1)$

Αντικαθιστούμε το

στις

και λύνουμε την εξίσωση $f(x)=g(x)\Leftrightarrow ax^2-4ax+4a=0\Leftrightarrow a(x-2)^2=0$ και επειδή $a \neq 0$ θα είναι x=2

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το A(2,8a+3b)

.

#3

Ξεκινάω με τα θέματα της Γ' (τα πρώτα τρία)

1ο)

Είναι, ως γνωστόν,

$\displaystyle{1+2+3\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2} \implies \frac{1}{1+2+3\cdots +n}=2\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Big),}$

οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)=\frac{2011}{2013}.}$

Δηλαδή

$\displaystyle{2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\Big)=\frac{2011}{2013}\iff x=2012.}$

2ο)

Δίνεται ότι η εξίσωση $\displaystyle{ax^2+bx+c=cx+b}$ δηλαδή η $\displaystyle{ax^2+(b-c)x+c-b=0}$

έχει μοναδική ρίζα.

Τότε, είναι

$\displaystyle{(b-c)^2+4(b-c)a=0\implies \boxed{c-b=4a}}$ , αφού $\displaystyle{b\ne c.}$

Η μοναδική αυτή ρίζα είναι η $\displaystyle{x=\frac{c-b}{2a}=2,}$ λόγω της παραπάνω συνθήκης.

Άρα το κοινό σημείο είναι το $\displaystyle{(2,2c+b).}$

3ο)

Αποσύρω τη λύση, γιατί χρησιμοποίησα άλλο δεδομένο.

#4

3oΓ)

Η συνθήκη γράφεται

$\displaystyle{\frac{1}{2012+\frac{y}{x}}=\frac{1}{2012+\frac{z}{y}}=\frac{1}{2012+\frac{7}{z}}\implies xz=y^2,z^2=7y,yz=7x.}$

Άρα

$\displaystyle{xyz=y^3=7x^2.}$

Άρα, συνθήκη $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=147}$ γίνεται

$\displaystyle{\frac{y^3}{7}+y^2+7y=147,}$

η οποία έχει μοναδική πραγματική ρίζα το $\displaystyle{7}$ .

Τότε, βρίσκουμε τις λύσεις

$\displaystyle{(7,7,7),~(-7,7,-7).}$

Grigoris K. · #5

Όμορφα ήταν τα σημερινά θέματα της Γ' Λυκείου. Έλυσα 3/4 εκτός του 1ου γιατί δεν σκέφτηκα το προφανές

.
Όσον αφορά τη Γεωμετρία προκύπτει με γωνίες ότι το $\displaystyle{ KNST }$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο (έστω $\displaystyle{ c_3}$ ).
Τελικά οι ευθείες $\displaystyle{ AM,KT,NS }$ συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των $\displaystyle{ c_1,c_2,c_3 }$ .

Andreas Dalaoutis · #6

Ας μου επιτραπεί ένας σχολιασμός. Τα θέματα της Γ' Λυκείου ήταν σχετικά εύκολα. Ίσως το 1ο να μην έλυσαν αρκετά παιδιά, τα υπόλοιπα όμως ήταν βατά έως εύκολα. Άρα μάλλον θα πρέπει να περιμένουμε υψηλά cut-offs για τη συνέχεια στον Ευκλείδη. Τα θέματα. της Β' Λυκείου ήταν αρκετά δύσκολα για επίπεδο Θαλή με εξαίρεση μάλλον το 2ο. Καλά αποτελέσματα σε όλους και ειδικά στα μέλη του

.

#7

B Λυκείου , ΘΕΜΑ 3

$\displaystyle{\frac{2012x}{2012x+3}=\frac{2012y}{2012y+5}=\frac{2012z}{2012z+7}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{2012x}{2012x-2012x+3}=\frac{2012y}{2012y-2012y+5}=\frac{2012z}{2012z-2012z+7}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2012x}{3}=\frac{2012y}{5}=\frac{2012z}{7}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k}$

Άρα:

$\displaystyle{x=3k , y=5k , z=7k}$ Όμως: $\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 =}$ θετικός διαιρέτης του $\displaystyle{747}$ ,

Δηλαδή $\displaystyle{9k^2 +25k^2 +49k^2 =}$ θετ. διαιρ. του $\displaystyle{747}$ . Δηλαδή:

$\displaystyle{83k^2 =}$ θετ. διαιρ. του $\displaystyle{747}$ .

Επειδή οι θετικοί διαιρέτες του $\displaystyle{747}$ είναι οι: $\displaystyle{1 , 3 , 83 , 249 , 747}$ και δεδομένου ότι πρέπει ο $\displaystyle{k}$ να είναι ακέραος, η μόνη δεκτή περίπτωση είναι :

$\displaystyle{83k^2 =83}$ ή $\displaystyle{83k^2 =747}$ , από όπου βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{k=1}$ , ή $\displaystyle{k=-1}$ ,ή $\displaystyle{k=3}$ , ή $\displaystyle{k=-3}$ και από εδώ έχουμε:

$\displaystyle{(x , y , z)=(3 , 5 , 7)}$ , ή $\displaystyle{(-3 , -5 , -7)}$ , ή $\displaystyle{(9 , 15 , 21)}$ , ή $\displaystyle{(-9 , -15 , -21)}$

ArgirisM · #8

Ουφ ωραία τα θέματα στη β' λυκείου όπου έδωσα, αν και περίμενα πρόοδο εδώ που τα λέμε. Πιστεύω 4/4, τουλάχιστον αν δεν μου έχει ξεφύγει τίποτα αν και κανά δυο αλλοί που τα κουβεντιάσαμε τα ιδιά μου είπαν είχαν βγάλει. Θα δούμε το απόγευμα λογικά και τις επίσημες λύσεις μαζί με το σχέδειο βαθμολόγησης. Συνοπτικά έχω να πω ότι τα δύο πρώτα θέματα ήταν αρκετά βατά, και μπορούσε ένας καλός μαθητής να τα βγάλει σε γενικές γραμμές, αν και το δεύτερο είχε κάμποσες πράξεις. Στο πρώτο (συγγνώμη που δεν βάζω εκφωνήσεις, δεν μας έδωσαν τα θέματα πίσω και έτσι κι αλλιώς έχω μάθημα και δεν νομίζω να προλαβαίνω να τα αναδημοσιεύσω) έβγαινε $K > 0 \forall a \in (0,1), K < 0 \forall a \in (-1, 0)$ . Ήταν μία απλή εφαρμογή της ανισότητας για το άθροισμα ενός αριθμού και του αντιστρόφου του. Το δεύτερο έβγαινε με Vieta και έδινε k = 2

. Από το τρίτο και μετά δυσκόλευε κάπως, καθώς το συγκεκριμένο είχε ένα κάπως περίεργο σύστημα, το οποίο δεν ξέρω αν καλώς μπήκε στην β' λυκείου αφού δεν διδάχτηκαν πέρυσι τα συστήματα. Ήταν ωραίο θέμα, αν και με πολλές υποπεριπτώσεις (έγραφα τρεις σελίδες) και σαφώς δυσκολότερο από το αντίστοιχο περσινό που έβγαινε γρήγορα με διάταξη για όποιον ήξερε. Οι λύσεις ήταν $(x, y, z) = (\pm 3, \pm 5, \pm 7), (\pm 9, \pm 15, \pm 21)$ . Και φτάνουμε στη γεωμετρία. Όμορφο θέμα, για σκληροπυρηνικούς βέβαια. Μου θύμησε λιγάκι το περσινό του προκριματικού των μεγάλων, το οποίο σαφώς δεν ήταν για τέτοιο επίπεδο. Εδώ πιστεύω ταίριαζε πολύ περισσότερο. Γενικά πιστεύω πως το πιο δύσκολο ήταν το σύστημα, καθώς τη γεωμετρία όποιος ήξερε την έβγαζε γρήγορα (ο φίλτατος AntonisZ που δίναμε μαζί και που ξέρει γεωμετρία καλύτερα και από μένα το έβγαλε εντός πενταλέπτου, ενώ εγώ το βρήκα με angle chasing απάνω στο σχήμα). Πιστεύω πως ήταν καλά θέματα, πιο δύσκολα από των δύο- τριών τελευταίων ετών και ότι αξίζανε την προσπάθεια. Αναμφίβολα οι πιο μέτριοι μαθητές δυσκολεύτηκαν ειδικά από τη μέση και μετά, αλλά ας μην ξεχνάμε πως στις τελευταίες τάξεις του λυκείου οι διαγωνισμοί γίνονται πιο πολύ για τους σκληροπυρηνικούς και πρέπει τέλος πάντων έστω και σε επίπεδο Θαλή να μπαίνει κάτι δύσκολο, μιας και ανεξαρτήτως της "ελεύθερης πτώσης" που εκτελεί το επίπεδο στις τάξεις, στους διαγωνισμούς ανεβαίνει και έχουμε όλο και περισσότερα μετάλλια σε IMO και σία. Περιμένω και τις απόψεις των υπολοίπων σας επί των θεμάτων, καθώς και για τις άλλες τάξεις, όπου είχα γνωστούς που έδιναν.

#9

Ένα σχήμα για το 4Γ.

jim32 · #10

Ξέρει κανείς που θα κυμανθεί περίπου η βάση στην Β λυκείου?

#11

A Λυκείου,

ΘΕΜΑ 2.

$\displaystyle{K=\frac{a^3 +b^3 -a^2 +b^2 +(ab+b^2 )(a-2b)}{(a+b)^2 -a-b}=}$

$\displaystyle{\frac{(a+b)(a^2 -ab+b^2)-(a-b)(a+b)+b(a+b)(a-2b)}{(a+b)^2 -(a+b)}=}$

$\displaystyle{=\frac{(a+b)(a^2 -ab+b^2-a+b+ab-2b^2 )}{(a+b)(a+b-1)}=\frac{a^2 -b^2 -a+b}{a+b-1}=}$

$\displaystyle{=\frac{(a-b)(a+b)-(a-b)}{a+b-1}=\frac{(a-b)(a+b-1)}{a+b-1}=a-b}$

#12

Μια λύση της γεωμετρίας Α λυκείου:

Από το

φέρνουμε παράλληλη στη $B\Gamma$ η οποία τέμνει την

στο

.
Το τετράπλευρο $HE\Gamma B$ είναι παραλληλόγραμμο, κι άρα $HE=B\Gamma=a$ , και το τρίγωνο BHE

είναι ισοσκελές,
με $BH=HE=B\Gamma=a$ , αφού η γωνία $\angle HBE$ είναι ίση με την $\angle HEB$ , ίση με το μισό της $\angle B$ .
Συνεπώς, θα είναι HA=BA-BH=2a-a=a=HE

, κι άρα η γωνία $\angle BAE$ είναι ίση με την $\angle HEA$
που λόγω παραλληλίας είναι ίση με την $\angle BZA$ .

Συνεπώς, το το τρίγωνο ABZ

είναι ισοσκελές με AB=BZ

.

Διαφορετικά:

Είναι $HB=E\Gamma$ (1). Το τρίγωνο $B\Gamma E$ είναι ισοσκελές, αφού οι γωνίες $EB\Gamma$ και $BE\Gamma$ είναι ίσες με το μισό της

.
Συνεπώς, $E\Gamma=B\Gamma=a=AB/2$ (2).

Από (1), (2), έπεται ότι το

είναι μέσο της

, κι αφού η

είναι παράλληλη στη $B\Gamma$ , και το

θα είναι μέσο της

.

Συνεπώς, στο τρίγωνο ABZ

, η

είναι διχοτόμος και διάμεσος, κι άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με AB=BZ

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Edit: Διόρθωση κώδικα $\LaTeX$
Edit: Σμίκρυνση εικόνας

#13

A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ 4.

Αφού οι γωνίες $\displaystyle{\Gamma BE , EBA}$ είναι από υπόθεση ίσες καθώς και οι γωνίες $\displaystyle{EBA , BE\Gamma}$ είναι ίσες ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $\displaystyle{\Gamma E}$ και $\displaystyle{BA}$ που τέμνονται από την $\displaystyle{BE}$ , συμπεραίνουμε ότι και οι γωνίες
$\displaystyle{\Gamma BE , BE\Gamma}$ , είναι ίσες και άρα $\displaystyle{\Gamma E=B\Gamma =a}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{ZE\Gamma}$ και $\displaystyle{ZBA}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\frac{E\Gamma}{AB}=\frac{Z\Gamma}{ZB}\Rightarrow \frac{a}{2a}=\frac{Z\Gamma}{Z\Gamma +a}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{Z\Gamma}{Z\Gamma +a}\Rightarrow Z\Gamma=a}$

Άρα : $\displaystyle{BZ=BA=2a}$ και άρα το τρίγωνπο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , είναι ισοσκελές.

#14

Οι λύσεις από την Ε.Μ.Ε.

Νασιούλας Αντώνης · #15

Χαιρετώ μετά από καιρό.
Στο Βόλο φέτος η συμμετοχή ξεπέρασε κάθε προηγούμενο -κυρίως στις τάξεις του γυμνασίου.
Όσον αφορά τα θέματα της Γ:

Παρατήρηση 1: στην τάξη που επιτηρούσα δεν έλυσε κανένας το πρώτο θέμα.
Παρατήρηση 2: στην τάξη που επιτηρούσα έλυσαν σχεδόν όλοι το δεύτερο θέμα.
Παρατήρηση 3: στην τάξη που επιτηρούσα αρκετοί έλυσαν το τρίτο θέμα.
Την γεωμετρία την αφήνω ασχολίαστη μιας και είναι πονεμένη ιστορία για τα παιδιά της Γ -και για μένα επίσης.

Το πρώτο θέμα είναι από αυτά που ή ξέρεις και το γράφεις ή το κλαις, είναι trick theory...Αν ξέρεις περί τηλεσκοπικών, σου κάνει μπαμ από μακριά και το γράφεις κατευθείαν. Αν δεν ξέρεις, απλά το κοιτάς. Από αυτή την άποψη για μένα το θέμα αυτό ή δεν θα έπρεπε να έχει τεθεί καθόλου ή θα έπρεπε να μπει πιο κάτω στην ιεραρχία (πιθανότατα σαν πρόβλημα 3). Είμαι παραδοσιακά υπέρ των δύσκολων θεμάτων σε κάθε μορφή εξέτασης, αλλά το να ζητάς στη πρώτη φάση του διαγωνισμού ένα σχετικά εξειδικευμένο εργαλείο το θεωρώ λάθος "δυσκολία". Υπάρχουν κι άλλα στάδια για να διακρίνεις αυτούς που είναι απλά ικανοί με αυτούς που έχουν ασχοληθεί επιπλέον με το αντικείμενο των διαγωνισμών.

Το δεύτερο θέμα απ' την άλλη παραήταν εύκολο. Νομίζω ότι δεν μπορεί να θεωρηθεί καν μια δύσκολη σχολική άσκηση. Τουλάχιστον θα μπορούσε να έχει τεθεί ως πρόβλημα 1, για να τονώσει και την ψυχολογία των παιδιών που θα το έλυναν γρήγορα και χωρίς κόπο.

To τρίτο θέμα νομίζω ήταν μια χαρά.

Με μια φράση...νομίζω ότι ο διαγωνισμός είχε ένα αρκετά δύσκολο (βασικά εξειδικευμένο) πρώτο θέμα και ένα πολύ εύκολο δεύτερο. Του λόγου το αληθές αποδεικνύουν και οι παρατηρήσεις που παρέθεσα στην αρχή.

Καλά αποτελέσματα σε όλους

#16

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑ 1

Το θέμα αυτό παρατήρησα ότι δυσκόλεψε πολλούς μαθητές περισσότερο από όλα τα υπόλοιπα

$\displaystyle{K=\frac{2^{-20}.4^{-32}.8^{-36}.2^{182}}{3.(13.2^2 .3^3 +2^4 .3^6 )^{-1}}=}$

$\displaystyle{\frac{2^{-20}.2^{-64}.2^{-108}.2^{182}}{3.[2^2 .3^3 .(13+2^2 .3^3 )]^{-1}}=}$

$\displaystyle{\frac{2^{-10}}{3.2^{-2}.3^{-3}.(13+108)^{-1}}=\frac{2^{-8}}{3^{-2}.121^{-1}}=\frac{3^2 .121}{2^8}=}$

$\displaystyle{=(\frac{3.11}{2^4})^2 =(\frac{33}{16})^2 }$

jim32 · #17

βγήκε μήπως καμία ανακοίνωση σχετικά με τον τρόπο αξιολόγησης ή με τις βάσεις απο την ΕΜΕ?

S.E.Louridas · #18

Τα πολλά εύσημα στους Συμμετέχοντες Μαθητές στους Διαγωνισμούς αυτούς, στους Δασκάλους τους που τους εμφύσησαν την αγάπη για τα Μαθηματικά αλλά κυρίως που ανακάλυψαν τις δυνατότητες τους. Επίσης τα συγχαρητήρια στους γονείς των συμμετασχόντων αυτών Μαθητών.
Προσωπικά εύχομαι Καλά Αποτελέσματα σε όλους τους Διαγωνιζόμενους.

Eukleidis · #19

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Χαιρετώ μετά από καιρό.
Στο Βόλο φέτος η συμμετοχή ξεπέρασε κάθε προηγούμενο -κυρίως στις τάξεις του γυμνασίου.
Όσον αφορά τα θέματα της Γ:

Παρατήρηση 1: στην τάξη που επιτηρούσα δεν έλυσε κανένας το πρώτο θέμα.
Παρατήρηση 2: στην τάξη που επιτηρούσα έλυσαν σχεδόν όλοι το δεύτερο θέμα.
Παρατήρηση 3: στην τάξη που επιτηρούσα αρκετοί έλυσαν το τρίτο θέμα.
Την γεωμετρία την αφήνω ασχολίαστη μιας και είναι πονεμένη ιστορία για τα παιδιά της Γ -και για μένα επίσης.

Το πρώτο θέμα είναι από αυτά που ή ξέρεις και το γράφεις ή το κλαις, είναι trick theory...Αν ξέρεις περί τηλεσκοπικών, σου κάνει μπαμ από μακριά και το γράφεις κατευθείαν. Αν δεν ξέρεις, απλά το κοιτάς. Από αυτή την άποψη για μένα το θέμα αυτό ή δεν θα έπρεπε να έχει τεθεί καθόλου ή θα έπρεπε να μπει πιο κάτω στην ιεραρχία (πιθανότατα σαν πρόβλημα 3). Είμαι παραδοσιακά υπέρ των δύσκολων θεμάτων σε κάθε μορφή εξέτασης, αλλά το να ζητάς στη πρώτη φάση του διαγωνισμού ένα σχετικά εξειδικευμένο εργαλείο το θεωρώ λάθος "δυσκολία". Υπάρχουν κι άλλα στάδια για να διακρίνεις αυτούς που είναι απλά ικανοί με αυτούς που έχουν ασχοληθεί επιπλέον με το αντικείμενο των διαγωνισμών.

Το δεύτερο θέμα απ' την άλλη παραήταν εύκολο. Νομίζω ότι δεν μπορεί να θεωρηθεί καν μια δύσκολη σχολική άσκηση. Τουλάχιστον θα μπορούσε να έχει τεθεί ως πρόβλημα 1, για να τονώσει και την ψυχολογία των παιδιών που θα το έλυναν γρήγορα και χωρίς κόπο.

To τρίτο θέμα νομίζω ήταν μια χαρά.

Με μια φράση...νομίζω ότι ο διαγωνισμός είχε ένα αρκετά δύσκολο (βασικά εξειδικευμένο) πρώτο θέμα και ένα πολύ εύκολο δεύτερο. Του λόγου το αληθές αποδεικνύουν και οι παρατηρήσεις που παρέθεσα στην αρχή.

Καλά αποτελέσματα σε όλους

Συμφωνώ σε όλα εκτός από το κόκκινο. Ο Θαλής δεν είναι μια φάση που απλά κρίνει ποιος θα πάει παρακάτω. Είναι μια αφετηρία για ενασχόληση με τα μαθηματικά. Τα θέματα θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε από τη μια να αξιολογούν σωστά αυτούς που είναι πιο ικανοί, αλλά και έναυσμα για αυτούς που δεν έχουν ασχοληθεί. Αν ήταν δύσκολα, οι καλοί θα προχωρούσαν, οι αδύναμοι θα τα παρατούσαν μια και καλή. Έτσι ο διαγωνισμός θα ήταν για τους λίγους, κάτι σαν αυτόν της ένωσης φυσικών.

kochris · #20

Μια εκτίμηση για τα θέματα Άλγεβρας Α΄ και Β΄ Λυκειου ( τις γεωμετριες δεν τις εχω λυσει ακομη )

Α΄ Λυκείου 1ο θέμα απλό, 2ο θέμα μέτριας δυσκολίας, 3ο θέμα (με άθροισμα και γινόμενο ριζών) δεν το κρίνω...
γιατί αν έχει δουλέψει κάποιος μαθητής ασκήσεις τέτοιου τύπου την λύνει αλλιώς την χαζεύει...οτι θυμάται απο το γυμνάσιο!!

Β΄ Λυκείου Όλα τα θέματα της άλγεβρας ήταν κανονικης δυσκολίας χωρίς κάτι το ιδιαίτερο...

ΥΓ. Πολλά γυμνασιόπαιδα!!!!!

στον Βόλο τουλάχιστον

ΘΑΛΗΣ-2012

ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Λύσεις!

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Μέλη σε σύνδεση