Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Ανδρεας · #1

Η συνάρτηση $f:\left({0,+\infty}\right)\longrightarrow\left({0,+\infty}\right)$ είναι συνεχής και υπάρχουν $0<\alpha<\beta<\gamma$ ώστε $f\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)=1$ .
Να δείξετε ότι υπάρχει $x_{0}$ ώστε $f({x_{0}})=x_{0}^{2010}$ .

Αρχιμήδης 6 · #2

Εφάρμοσε BOLZANO !!!
Ισχύει για κάθε δύναμη.
Έστω η συνάρτηση $g(x)=f(x)-x^{2010}$
$\displaystyle{g(\frac{a}{b})=f(\frac{a}{b})-(\frac{a}{b})^{2010}$
$\displaystyle{g(\frac{b}{c})=f(\frac{b}{c})-(\frac{b}{c})^{2010}$
$\displaystyle{g(\frac{c}{a})=f(\frac{c}{a})-(\frac{c}{a})^{2010}$
Αν κάποια απο τις τιμές $g(\frac{a}{b}),g(\frac{b}{c}),g(\frac{c}{a})$ ισούται με μηδέν τότε αποδείχθηκε.
Έστω οτι καμία απο τις ανωτέρω τιμές δεν ισούται με μηδέν.
Αφού η

συνεχής αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ζεύγος των παραπάνω με γινόμενο αρνητικό.
Η μόνη περίπτωση για να μην υπάρχει ζεύγος τιμών με γινόμενο αρνητικό είναι μόνο όταν ${g(\frac{a}{b}),{g(\frac{b}{c}),{g(\frac{c}{a})<0$ ή ${g(\frac{a}{b}),{g(\frac{a}{b}),{g(\frac{a}{b})>0$ . Σε κάθε περίπτωση πολλαπλασίασε κατα μέλοι που μπορείς γιατί μιλάμε για ορισμό και τιμές της

στο $\left({0,+\infty}\right)$ και το αποτέλεσμα θα είναι $f(\frac{a}{b})f(\frac{b}{c})f(\frac{c}{a})<1$ ή $f(\frac{a}{b})f(\frac{b}{c})f(\frac{c}{a})>1$ Άτοπο.Άρα υπάρχει ζεύγος των παραπάνω ΄τιμών με γινόμενο αρνητικό και έτσι με BOLZANO υπάρχει x_0

ώστε $f(x_0)=x_0^{2010}$ .
Eπαναλαμβάνω ότι ισχύει για κάθε δύναμη.Δεν ξέρω αν έκανα σωστά που την έλυσα...ελπίζω να κατάλαβες την κεντρική ιδέα.
Φιλικά,
Δημήτρης

#3

Καλημέρα.
Εγώ θα σε προέτρεπα να θεωρήσεις τη συνάρτηση με τύπο:
$\displaystyle{ g(x) = \ln f(x) - 2010\ln x,x > 0 }$
και να υποθέσεις πως διατηρεί πρόσημο.
Θα ήταν ωραίο να αναρωτηθείς:
1) Πως προέκυψε,
2) Πως εξάγεται η αντίφαση και τελικά το ζητούμενο.

#4

Ανδρεας έγραψε:Η συνάρτηση $f:\left({0,+\infty}\right)\longrightarrow\left({0,+\infty}\right)$ είναι συνεχής και υπάρχουν $0<\alpha<\beta<\gamma$ ώστε $f\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)=1$ .
Να δείξετε ότι υπάρχει $x_{0}$ ώστε $f({x_{0}})=x_{0}^{2010}$ .

Ουσιαστκά το ίδιο με τους προλαλήσαντες, αλλά κάπως πιο "ορατό":

Ορίζουμε $\displaystyle g(x) = \frac {f(x)}{x^{2010}}$ και παρατηρούμε ότι η

είναι συνεχής με $g\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\,g\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\,g\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)=1 \,\, (*)$ . Αν κάποιο από τα $g\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\, , g\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\, , g\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)$ είναι ίσο με

, τελειώσαμε. Αν κανένα δεν είναι

τότε υποχρεωτικά κάποιο είναι

και κάποιο άλλο

(δεν μπορεί λόγω της (*)

να είναι όλα π.χ.

). Από Bolzano υπάρχει ενδιάμεσο x_0

με

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αρχιμήδης 6 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ανδρεας έγραψε:Η συνάρτηση $f:\left({0,+\infty}\right)\longrightarrow\left({0,+\infty}\right)$ είναι συνεχής και υπάρχουν $0<\alpha<\beta<\gamma$ ώστε $f\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\,f\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)=1$ .
Να δείξετε ότι υπάρχει $x_{0}$ ώστε $f({x_{0}})=x_{0}^{2010}$ .
Ουσιαστκά το ίδιο με τους προλαλήσαντες, αλλά κάπως πιο "ορατό":

Ορίζουμε $\displaystyle g(x) = \frac {f(x)}{x^{2010}}$ και παρατηρούμε ότι η είναι συνεχής με $g\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\,g\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\,g\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)=1 \,\, (*)$ . Αν κάποιο από τα $g\bigl({\frac{\alpha}{\beta}}\bigl)\, , g\bigl({\frac{\beta}{\gamma}}\bigl)\, , g\bigl({\frac{\gamma}{\alpha}}\bigl)$ είναι ίσο με , τελειώσαμε. Αν κανένα δεν είναι τότε υποχρεωτικά κάποιο είναι και κάποιο άλλο (δεν μπορεί λόγω της να είναι όλα π.χ. ). Από Bolzano υπάρχει ενδιάμεσο με , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωραία σκέψη...

Ανδρεας · #6

Σας ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!!!

parmenides51 · #7

εδώ

Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Re: Λίγη βοήθεια σε άσκηση

Μέλη σε σύνδεση