Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

erxmer · #1

Για τους μη αρνητικούς αριθμούς x,y,z

που πληρούν την συνθήκη x^2+y^2+z^2=2009

, να βρεθεί το μέγιστο ελάχιστο της παράστασης

$\displaystyle S=\frac{x}{yz+2009}+\frac{y}{zx+2009}+\frac{z}{xy+2009}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #2

erxmer έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 19, 2011 8:33 pm
Για τους μη αρνητικούς αριθμούς που πληρούν την συνθήκη , να βρεθεί το μέγιστο ελάχιστο της παράστασης

$\displaystyle S=\frac{x}{yz+2009}+\frac{y}{zx+2009}+\frac{z}{xy+2009}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle S\ge\frac{1}{\sqrt{2009}}, \displaystyle S\le\sqrt{\frac{2}{2009}}$

Θέτοντας $a=\dfrac{\sqrt{3}x}{\sqrt{2009}}, b=\dfrac{\sqrt{3}y}{\sqrt{2009}}, c=\dfrac{\sqrt{3}z}{\sqrt{2009}}$ , η συνθήκη μας γράφεται a^2+b^2+c^2=3

και η παράσταση $S=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2009}}(\dfrac{a}{bc+3}+\dfrac{b}{ca+3}+\dfrac{c}{ab+3})$ , οπότε αρκεί (κρυφοκοιτώντας το hide

) να δείξουμε ότι:

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqslant \dfrac{a}{bc+3}+\dfrac{b}{ca+3}+\dfrac{c}{ab+3} \leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

Έστω, $a+b+c=p, \, ab+bc+ca=q, abc=r$ . Η συνθήκη a^2+b^2+c^2=3

δίνει

. Επίσης, $p >\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}$ και $p \leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}=3$ .

Αριστερή ανισότητα: Είναι, $3=a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2$ , και κυκλικά, άρα $0 \leqslant a,b,c \leqslant \sqrt{3}$ . Οπότε, $\dfrac{a}{bc+3} \geqslant \dfrac{a}{b\sqrt{3}+3}$ , και κυκλικά, συνεπώς αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\dfrac{a}{b+\sqrt{3}}+\dfrac{b}{c+\sqrt{3}}+\dfrac{c}{a+\sqrt{3}} \geqslant 1$ .

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz, είναι $\displaystyle \sum \dfrac{a}{b+\sqrt{3}} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)+(a+b+c)\sqrt{3}}=$ $\dfrac{p^2}{p\sqrt{3}+q}=\dfrac{p^2}{p\sqrt{3}+(p^2-3)/2}=\dfrac{2p^2}{p^2+2p\sqrt{3}-3}=1+\dfrac{(p-\sqrt{3})^2}{p^2+2p\sqrt{3}-3} \geqslant 1$ , αφού $p^2+2p\sqrt{3}-3 >0$ για $p>\sqrt{3}$ .

Η ισότητα, ισχύει όταν $(a,b,c)=(0,0,\sqrt{3})$ και οι μεταθέσεις αυτής.

Δεξιά ανισότητα: Είναι, $\displaystyle \sum \dfrac{a}{bc+3} \leqslant \sqrt{2}/\sqrt{3} \Rightarrow \sum \dfrac{3a}{bc+3} \leqslant \sqrt{6} \Rightarrow p-\sqrt{6} \leqslant r \cdot \sum \dfrac{1}{bc+3}$ .

Από AM-HM, είναι $\displaystyle \sum \dfrac{1}{bc+3} \geqslant \dfrac{9}{q+9}$ , άρα αρκεί $9r \geqslant (q+9)(p-\sqrt{6})=\dfrac{(p^2+15)(p-\sqrt{6})}{2}$ .

Από την ανισότητα Schur, $9r \geqslant 4pq-p^3=p^3-6p$ , άρα αρκεί $p^3-6p \geqslant \dfrac{(p^2+15)(p-\sqrt{6})}{2}$ , ή ισοδύναμα $(p^2+2p\sqrt{6}-15)(p-\sqrt{6}) \geqslant 0$ .

Αν $p \geqslant \sqrt{6}$ , η προηγούμενη προφανώς ισχύει.
Αν πάλι $p \leqslant \sqrt{6}$ , τότε $\displaystyle \sum \dfrac{a}{bc+3} \leqslant \sum \dfrac{a}{3} \leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

Η ισότητα ισχύει όταν $(a,b,c)=(0,\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$ , και οι μεταθέσεις αυτής.

Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Re: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Μέλη σε σύνδεση