Ανισότητα

#1

Αν $x,y,z\in\mathbb{R}^*,\;x+y+z=0$ , να προσδιορίσετε το ελάχιστο της παράστασης

$\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)$ .

Για ποιες τιμές των x,y,z

επιτυγχάνεται;

#2

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε $\displaystyle{z=-2,}$ οπότε έχουμε να βρούμε το ελάχιστο της

$\displaystyle{K=(x^2+y^2+4)\Big(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{4}\Big)}$ , με $\displaystyle{x+y=2.}$

Θέτουμε $\displaystyle{x=1-a,y=1+a,}$ οπότε, μετά τις πράξεις, η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{K=2(3+a^2)\Big[\frac{2(1+a^2)}{(1-a^2)^2}+\frac{1}{4}\Big]}$

ή αλλιώς, θέτοντας $\displaystyle{a^2=q\geq 0}$

$\displaystyle{K=\frac{(q+3)^3}{2(q-1)^2}.}$

Αποδεικνύουμε, τώρα, ότι

$\displaystyle{K\geq \frac{27}{2}.}$

Πράγματι, αυτό είναι ισοδύναμο μετά τις πράξεις, με $\displaystyle{(q-9)^2\geq 0.}$

Από την απόδειξη φαίνεται, ότι η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x=-2,y=4,z=-2.}$

Γενικά, λοιπόν, η ισότητα ισχύει για τις τριάδες $\displaystyle{(t,t,-2t)}$ και τις μεταθέσεις αυτής.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση