Ένα ζόρικο όριο

Νασιούλας Αντώνης · #1

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(e^{\sqrt{x^2+1}}-e^x\right)}$

#2

Αντώνη γειά χαρά στον πανέμορφο Βόλο!
Για κοίτα --->εδώ
Καλό απόγευμα.

Ωmega Man · #3

Συζητώντας το θέμα με τον Αντώνη πριν το ανεβάσει και χωρίς να ξέρουμε ότι έχει ξανασυζητηθεί είχαμε δει την εξής λύση:

Από ΘΜΤ για την $\displaystyle{\bf f(x)=\texttt{e}^{x}}$ , στο διάστημα $\displaystyle{\bf [x,\sqrt{x^2+1}]}$ , υπάρχει ξ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\bf f'(\xi)=\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{\sqrt{x^2+1}-x}\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-x)\texttt{e}^{\xi}=\texttt{e}^{\sqrt{x^2+1}}-\texttt{e}^{x}}$ και $\displaystyle{\bf \lim_{x\rightarrow +\infty}\texttt{e}^{\xi}(\sqrt{x^2+1}-x)=+\infty}$ , διότι το ξ είναι μεγαλύτερο από το x και το $\displaystyle{\texttt{e}^{\xi}}$ "πηγαίνει" γρηγορότερα στο $\bf +\infty$ απ´ότι το $\bf(\sqrt{x^2+1}-x)$ στο 0, έτσι και το όριο που ζητάμε είναι το άπειρο.

Θα μπορούσε μια τέτοια αιτιολόγηση να σταθεί;

Νασιούλας Αντώνης · #4

Επίσης εκτός από το αν θα μπορούσε να σταθεί μια τέτοια αιτιολόγηση, θα ήταν ενδιαφέρον να μας πει κάποιος αν υπάρχει κάποιο σχετικό Λήμμα ή Θεώρημα που να την στηρίζει.

#5

Αυτό το ''πηγαίνει γρηγορότερα'' και η σύγκριση μίας συνάρτησης που πάει στο άπειρο με μία που πάει στο μηδέν κάπου με ''χαλάει''.
Μήπως θα ήταν καλύτερα να συγκριθούν οι ταχύτητες της $\displaystyle{ e^{\xi (x)} }$ και της συζυγούς $\displaystyle{ \sqrt {x^2 + 1} + x }$

mathxl · #6

Ωmega Man έγραψε:Συζητώντας το θέμα με τον Αντώνη πριν το ανεβάσει και χωρίς να ξέρουμε ότι έχει ξανασυζητηθεί είχαμε δει την εξής λύση:

Από ΘΜΤ για την $\displaystyle{\bf f(x)=\texttt{e}^{x}}$ , στο διάστημα $\displaystyle{\bf [x,\sqrt{x^2+1}]}$ , υπάρχει ξ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\bf f'(\xi)=\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{\sqrt{x^2+1}-x}\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-x)\texttt{e}^{\xi}=\texttt{e}^{\sqrt{x^2+1}}-\texttt{e}^{x}}$ και $\displaystyle{\bf \lim_{x\rightarrow +\infty}\texttt{e}^{\xi}(\sqrt{x^2+1}-x)=+\infty}$ , διότι το ξ είναι μεγαλύτερο από το x και το $\displaystyle{\texttt{e}^{\xi}}$ "πηγαίνει" γρηγορότερα στο $\bf +\infty$ απ´ότι το $\bf(\sqrt{x^2+1}-x)$ στο 0, έτσι και το όριο που ζητάμε είναι το άπειρο.

Θα μπορούσε μια τέτοια αιτιολόγηση να σταθεί;

Aφού κάνουμε το ΘΜΤ είναι $e^{\xi }>e^{x}$ και επιπλέον $\displaystyle{\bf \lim_{x\rightarrow +\infty}\texttt{e}^{\xi}(\sqrt{x^2+1}-x)>\lim_{x\rightarrow +\infty}\texttt\frac{e^{x}/}({\sqrt{x^2+1}+x})}$ το όριο του δευτέρου μέλους είναι της μορφής +οο/+οο και με DLH ισούται με 1/2 επί +οο δηλαδή +οο, άρα και το ζητούμενο ισούται με +οο

Γράφω από το σχολείο...και ο Eqeditor μου έσπασε τα νεύρα...ευλογημένο μαθταιπ..

Ωmega Man · #7

Η ερώτηση ήταν άλλη!

solars · #8

Ωmega Man έγραψε:Η ερώτηση ήταν άλλη!

Δεν μας λες ποια είναι η ερώτηση επιτέλους.Αν και θεωρώ ότι ο κ.Κυριαζής παραπάνω έδειξε το δρόμο.

#9

Ωmega Man έγραψε:Συζητώντας το θέμα με τον Αντώνη πριν το ανεβάσει και χωρίς να ξέρουμε ότι έχει ξανασυζητηθεί είχαμε δει την εξής λύση:

Από ΘΜΤ για την $\displaystyle{\bf f(x)=\texttt{e}^{x}}$ , στο διάστημα $\displaystyle{\bf [x,\sqrt{x^2+1}]}$ , υπάρχει ξ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\bf f'(\xi)=\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{\sqrt{x^2+1}-x}\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-x)\texttt{e}^{\xi}=\texttt{e}^{\sqrt{x^2+1}}-\texttt{e}^{x}}$ και $\displaystyle{\bf \lim_{x\rightarrow +\infty}\texttt{e}^{\xi}(\sqrt{x^2+1}-x)=+\infty}$ , διότι το ξ είναι μεγαλύτερο από το x και το $\displaystyle{\texttt{e}^{\xi}}$ "πηγαίνει" γρηγορότερα στο $\bf +\infty$ απ´ότι το $\bf(\sqrt{x^2+1}-x)$ στο 0, έτσι και το όριο που ζητάμε είναι το άπειρο.

Θα μπορούσε μια τέτοια αιτιολόγηση να σταθεί;

Θα μπορούσε μια τέτοια αιτιολόγηση να σταθεί

Ωmega Man · #10

Στην ουσία ο Βασίλης αναπαρήγαγε την λύση του dement...στο λινκ που έδωσε ο Χρήστος. Έχω δει αυτό το επιχείρημα (πιο όριο πηγαίνει γρηγορότερα) να χρησιμοποιείται σε διάφορες λύσεις. Αν διάβαζες καλύτερα τι ρώτησε ο Αντώνης θα καταλάβαινες! Καλό είναι να ρίχνουμε λίγο τους τόνους, δεν είναι καταναγκαστική η συμμετοχή μας εδώ! (αυτό ισχύει και για μένα)

solars · #11

Ωmega Man έγραψε:Στην ουσία ο Βασίλης αναπαρήγαγε την λύση του dement...στο λινκ που έδωσε ο Χρήστος. Έχω δει αυτό το επιχείρημα (πιο όριο πηγαίνει γρηγορότερα) να χρησιμοποιείται σε διάφορες λύσεις. Αν διάβαζες καλύτερα τι ρώτησε ο Αντώνης θα καταλάβαινες! Καλό είναι να ρίχνουμε λίγο τους τόνους, δεν είναι καταναγκαστική η συμμετοχή μας εδώ! (αυτό ισχύει και για μένα)

Καλά θα το βάλω στο low...

.Όσο για το 'πηγαίνει γρηγορότερα' βιβλιογραφικά δεν το έχω δει κάπου...

mathxl · #12

Ωmega Man έγραψε:Στην ουσία ο Βασίλης αναπαρήγαγε την λύση του dement...στο λινκ που έδωσε ο Χρήστος.

Ο Δημήτρης μιλάει για 2 ΘΜΤ εγώ κάνω ένα ΘΜΤ κα DLH

Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} }}{{\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} + {\bf{x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + {\bf{1}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + {\bf{1}}} + 1}} = + \infty }$

άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} + {\bf{x}}}}\mathop = \limits_{\left( {\frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \right)}^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} }}{{\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} + {\bf{x}}}} = + \infty }$

Επίσης
$\displaystyle{{e^\xi }(\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} - {\bf{x}}) > \frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{1}}} + {\bf{x}}}}}$
και με όρια προκύπτει το ζητούμενο

Για την έκφραση γρηγορότερα, έχω να πω ότι την χρησιμοποιώ στην τάξη για όρια του τύπου +οο-(+οο) και παρόμοια όταν ρωτούν τα παιδιά ποιον όρο να βγάζουν κοινό παράγοντα. Δίνεις εξήγηση του γρηγορότερα ως εξής: για χ κοντά εκεί που αναζητούμε οι τιμές της μιας συνάρτησης είναι μεγαλύτερες της άλλης άρα η μία τείνει γρηγορότερα στο +οο απότι η άλλη. Έτσι με εξαγωγή κοινού παράγοντα της "γρηγορότερης" έχουμε : άπειρο (1-0)

Ευχαριστώ Γρηγόρη για την μετατροπή

G.Tsikaloudakis · #13

Βλέπε τη λύση παρακάτω.

#14

Ωmega Man έγραψε:... διότι το ξ είναι μεγαλύτερο από το x και το $\displaystyle{\texttt{e}^{\xi}}$ "πηγαίνει" γρηγορότερα στο $\bf +\infty$ απ´ότι το $\bf(\sqrt{x^2+1}-x)$ στο 0, έτσι και το όριο που ζητάμε είναι το άπειρο.
Θα μπορούσε μια τέτοια αιτιολόγηση να σταθεί;

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:...εκτός από το αν θα μπορούσε να σταθεί μια τέτοια αιτιολόγηση, θα ήταν ενδιαφέρον να μας πει κάποιος αν υπάρχει κάποιο σχετικό Λήμμα ή Θεώρημα που να την στηρίζει.

Μιας και η συζήτηση γίνεται σε φάκελο που σχετίζεται με σχολικές εξετάσεις το ερώτημα που θέτει ο Αντώνης είναι καίριο: Που θα στηρίζοταν μία τέτοια απάντηση; Η γνώμη μου είναι ότι αφού δεν στηρίζεται πουθενά στο σχολικό βιβλίο τέτοιου είδους απαντήσεις στις σχολικές εξετάσεις δε μπορούν να σταθούν και πρέπει να παίρνουν μία χαμηλή όλως συμβολική βαθμολογία.
Σχετικά βλέπε και την παρεμφερή συζήτηση
viewtopic.php?f=61&p=60119#p60119
Μαυρογιάννης

Νασιούλας Αντώνης · #15

nsmavrogiannis έγραψε: Μιας και η συζήτηση γίνεται σε φάκελο που σχετίζεται με σχολικές εξετάσεις το ερώτημα που θέτει ο Αντώνης είναι καίριο: Που θα στηρίζοταν μία τέτοια απάντηση; Η γνώμη μου είναι ότι αφού δεν στηρίζεται πουθενά στο σχολικό βιβλίο τέτοιου είδους απαντήσεις στις σχολικές εξετάσεις δε μπορούν να σταθούν και πρέπει να παίρνουν μία χαμηλή όλως συμβολική βαθμολογία.
Σχετικά βλέπε και την παρεμφερή συζήτηση
viewtopic.php?f=61&p=60119#p60119
Μαυρογιάννης

Κύριε Νίκο,

επειδή το φόρουμ το παρακολουθούν μαθητές -μέσα σ αυτούς κι εγώ- καλώς κάνετε τέτοιου είδους επισημάνσεις.

Θα με ενδιέφερε πάντως μια απάντηση στο ερώτημά μου πέραν των σχολικών δεδομένων.

Ευχαριστώ

ΥΓ: Αν υπάρχει πρόβλημα να γίνει τέτοιου είδους συζήτηση εδώ ας ανοίξουμε άλλο θέμα. Απ την στιγμή όμως που έγινε ο διαχωρισμός και η επισήμανση για τα σχολικά δεδομένα δεν νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα.

#16

Βάζω άλλη μια λύση που είχα στείλει στον Αντώνη σε π.μ. όταν έβαλε το πρόβλημα.

$\displaystyle{ e^{\sqrt{x^2+1}}-e^x = e^x\left(e^{\sqrt{x^2+1}-x} - 1 \right) = e^x \left(e^{\frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}}}- 1 \right) \geqslant \frac{e^x}{x + \sqrt{x^2+1}} \geqslant \frac{e^x}{2x+1} \to \infty}$

Στην ανισότητα χρησιμοποίησα ότι $e^x \geqslant 1 + x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Για το τελευταίο όριο (αν δεν θεωρείται γνωστό) χρησιμοποιούμε l'Hopital.

Για το ερώτημα που προέκυψε ισχύει ότι αν P(x)

πολυώνυμο όπου ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός, τότε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{P(x)} \to +\infty. }$ Όπως μας έλεγαν και στο πανεπιστήμιο "exponential beats powers". Η απόδειξη είναι με l'Hopital και επαγωγή στο βαθμό του πολυώνύμου.

Αυτό δεν εφαρμόζεται απευθείας στην λύση των Αντώνη και Γιώργου αλλά εφαρμόζεται αν πολλαπλασιάσουμε με τον συζυγή όπως προτείνει ο Χρήστος. (Φυσικά τότε τελειώνουμε και με μία εφαρμογή του l'Hopital.)

G.Tsikaloudakis · #17

Εύκολα (με ολοκλήρωση της x > ln 6 ) δείχνουμε ότι , για κάθε x > ln 6 ισχύει :

tex]{\rm{ }}[/tex e^x > x^3

tex]{\rm{ }}[/tex] (1)

Οπότε , με ολοκλήρωση της (1), έχουμε:

tex]{\rm{ }}[/tex $\displaystyle{ \int_x^{\sqrt {x^2 + 1} } {e^t dt} > \int_x^{\sqrt {x^2 + 1} } {t^3 dt} {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}e^{\sqrt {x^2 + 1} } - e^x > \frac{1}{4}(2x^2 + 1) }$ tex]{\rm{ }}[/tex (2)

Από την (2) προκύπτει ότι:

tex]{\rm{ }}[/tex $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {e^{\sqrt {x^2 + 1} } - e^x } \right) = + \infty$

Ωmega Man · #18

G.Tsikaloudakis έγραψε:Εύκολα (με ολοκλήρωση της x > ln 6 ) δείχνουμε ότι , για κάθε x > ln 6 ισχύει :

tex]{\rm{ }}[/tex tex]{\rm{ }}[/tex] (1)

Οπότε , με ολοκλήρωση της (1), έχουμε:

tex]{\rm{ }}[/tex $\displaystyle{ \int_x^{\sqrt {x^2 + 1} } {e^t dt} > \int_x^{\sqrt {x^2 + 1} } {t^3 dt} {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}e^{\sqrt {x^2 + 1} } - e^x > \frac{1}{4}(2x^2 + 1) }$ tex]{\rm{ }}[/tex (2)

Από την (2) προκύπτει ότι:

tex]{\rm{ }}[/tex $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {e^{\sqrt {x^2 + 1} } - e^x } \right) = + \infty$

Γιώργο κάτι δεν πάει καλά $\displaystyle{\bf\log(6)\approx 1.79176}$ , βάλε $\displaystyle{\bf x=2}$ , $\displaystyle{\bf e^{2}<8}$ !

#19

G.Tsikaloudakis έγραψε:Εύκολα (με ολοκλήρωση της x > ln 6 ) δείχνουμε ότι , για κάθε x > ln 6 ισχύει :

tex]{\rm{ }}[/tex tex]{\rm{ }}[/tex]
<...>

Ωmega Man έγραψε: Γιώργο κάτι δεν πάει καλά $\displaystyle{\bf\log(6)\approx 1.79176}$ , βάλε $\displaystyle{\bf x=2}$ , $\displaystyle{\bf e^{2}<8}$ !

Φτιάχνει αυτό.

Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι ότι για μεγάλα

ισχύει

, που αληθεύει καθώς $\displaystyle \lim _{x \to \infty}\frac {e^x}{x^3} = \infty$ . Τώρα, για επιχείρημα όπως το παραπάνω, αρκεί να ολοκληρώσουμε τρεις φορές την x > ln 6

στην ισοδύναμη μορφή της e^x > 6

και "ότι βγάλει" κρατώντας μόνο τον όρο με το x^3

. Ειδικά, βλέπουμε ότι το

δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο αλλά μπορεί να αντικατασταθεί με "οτιδήποτε".

Μ.

G.Tsikaloudakis · #20

Σωστή η παρατήρηση του συναδέλφου Ωmega Μan (;) και η υπόδειξη του κορυφαίου συναδέλφου
Μιχάλη Λάμπρου.
Έτσι μπορούμε να πουμε ότι υπάρχει x_o

τέτοιο ώστε για κάθε x>x_0

να είναι είναι e^x > x^3

Ευχαριστώ φιλικά Γιώργος.

Ένα ζόρικο όριο

Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Μέλη σε σύνδεση