Αθροισμα σειράς 1/[ν(ν+1)(ν+2)]

#1

Στό Υπολογισμός παράστασης ο Μιχάλης Λάμπρου αναφέρει

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για τηλεσκοπικά με ανάλυση σε κλάσματα, ωραία παραδείγματα είναι να βρεις τα αθροίσματα με γενικούς
όρους, π.χ. $\frac{1}{k(k+1)}$ , $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ και λοιπά.

Μιά εύρεση τού $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}$ γίνεται ώς εξής:

$\displaystyle\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}=\frac{\frac{1}{2}}{\nu}-\frac{1}{\nu+1}+\frac{\frac{1}{2}}{\nu+2}=\frac{1}{2}\left({\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{2}{\nu+1}}\right)$ , η ακολουθία μερικών αθροισμάτων τής σειράς είναι

$\textstyle\frac{1}{2}\left({1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}+\frac{1}{\nu+2}-2\left({\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}}\right)}\right)=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{1}{\nu+1}}\right)$ .

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{1}{\nu+1}}\right)=\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+0-0}\right)=$ $\displaystyle\frac{1}{4}$ .

#2

grigkost έγραψε:Στό Υπολογισμός παράστασης ο Μιχάλης Λάμπρου αναφέρει
Mihalis_Lambrou έγραψε:Για τηλεσκοπικά με ανάλυση σε κλάσματα, ωραία παραδείγματα είναι να βρεις τα αθροίσματα με γενικούς
όρους, π.χ. $\frac{1}{k(k+1)}$ , $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ και λοιπά.
Μιά εύρεση τού $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}$ γίνεται ώς εξής:

$\displaystyle\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}=\frac{\frac{1}{2}}{\nu}-\frac{1}{\nu+1}+\frac{\frac{1}{2}}{\nu+2}=\frac{1}{2}\left({\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{2}{\nu+1}}\right)$ , η ακολουθία μερικών αθροισμάτων τής σειράς είναι

$\textstyle\frac{1}{2}\left({1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}+\frac{1}{\nu+2}-2\left({\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}}\right)}\right)=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{1}{\nu+1}}\right)$ .

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+\frac{1}{\nu+2}-\frac{1}{\nu+1}}\right)=\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}+0-0}\right)=$ $\displaystyle\frac{1}{4}$ .

Γράφω δεύτερη λύση με τηλεσκοπικό, αλλά λίγο πιo πονηρή. Επίσης ξαναγράφω την λύση του Γρηγόρη λίγο πιο εποπτικά. Δηλαδή, δεν αλλάζω τίποτα επί της ουσίας, αλλά δείχνω πώς παρουσιάζω το συγκεκριμένο άθροισμα στον πίνακα, όποτε το διδάσκω.

1) Άλλος τρόπος.
Η ιδέα είναι, αντί να αναλύσουμε το κλάσμα σε «πολύ απλά» κλάσματα, να χρησιμοποιήσουμε λίγο πιο σύνθετα! Είναι

$\frac{2}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k(k+1)}- \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

που είναι τηλεσκοπικό: Με πρόσθεση κατά μέλη θα μείνει ο πρώτος και ο τελευταίος όρος, δηλαδή $2S = \frac{1}{1.2}- \frac{1}{(N+1)(N+2)}$ , όπως πριν.

2) Η μέθοδος του Γρηγόρη ακολουθεί στο επισυναπτόμενο. Η ιδέα είναι να γίνουν οι απλοποιήσεις ανά τριάδες.

Σχόλιο: Ο πρώτος τρόπος γενικεύεται. Δίνει όλων των ειδών τα αθροίσματα της με γενικό όρο της μορφής

$\frac{1}{(a+kb)(a+(k+1)b)(a+(k+2)b)...(a+(k+L)b)}$ . . (L σταθερός φυσικός) (*)

καθώς και της

$\frac{(a+kb)(a+(k+1)b)(a+(k+2)b)...(a+(k+L)b)}{(c+kd)(c+(k+1)d)(c+(k+2)d)...(c+(k+L)d)}$

Π.χ. για το πρώτο, το τηλεσκοπικό είναι κατάλληλο πολλαπλάσιο του

$\frac{1}{(a+kb)(a+(k+1)b)(a+(k+2)b)...(a+(k+L-1)b)} - \frac{1}{(a+(k+1)b)(a+(k+2)b) (a+(k+3)b)(...(a+(k+L)b)}$

(για να δείτε την αιτία, βγάλτε κοινό παράγοντα.).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Αθροισμα σειράς 1/[ν(ν+1)(ν+2)]

Αθροισμα σειράς 1/[ν(ν+1)(ν+2)]

Re: Αθροισμα σειράς 1/[ν(ν+1)(ν+2)]

Μέλη σε σύνδεση