4 Διαφορικά προβληματάκια.

Ωmega Man · #1

1. $\displaystyle{\bf y''+y' \cot(x)=\csc(x)}$

2. $\displaystyle{\bf y''+4y'+4y=e^{-2x}x^{-2}}$

3. $\displaystyle{\bf x^2y''-xy'+4y=\cos(\ln(x))+x\sin(\ln(x))}$

4. $\displaystyle{\bf y''-4y'+3y=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}$

#2

Νομίζω ότι είναι πρόκληση να λυθούν με μεθόδους που χρησιμοποιούμε στο Λύκειο , έστω και αν είναι δύσκολο να τις φανταστεί ένας μαθητής λόγω πολλών τεχναμάτων. Έχω την εντύπωση ότι γίνεται κι ας είναι σε κάποια σημεία λίγο τραβηγμένο!!

Για παράδειγμα η 2η

Έχουμε : $\displaystyle{e^{2x}(y''+4y'+4y)=(-1/x)'=((-lnx)')'}$ δηλαδή.Παρατηρούμε! ότι
$\displaystyle{(e^{2x}y)''=(-ln|x|)''\Rightarrow e^{2x}y=-ln|x|+a_kx+b_k,k=1,2,x\in R* \Rightarrow y=e^{-2x}(-ln|x|+a_kx+b_k),k=1,2,x\in R*}$

Τα $\displaystyle{a_{1,2}, b_{1,2}}$ είναι σταθερές που κάθε μια υφίσταται στο καθένα από τα 2 διαστήματα του $\displaystyle{R*}$

Αργότερα θα στείλω και τις υπόλοιπες

η 1η

$\displaystyle{y''+\frac{cosx}{sinx}y'=\frac{1}{sinx}\Rightarrow (y'sinx)'=1=(x)'}$ .
Άρα $\displaystyle{y'=\frac{x+c_k}{sinx}\Rightarrow y=\int{\frac{x}{sinx}dx}+c_kln(tan(x/2))+b_k ,x\in \bigcup_{k=-\infty}^{k=+\infty}{(k\pi,k\pi+\pi)},k\in Z}$

η 4η

$\displaystyle{y''-y'-3(y'-y)=\frac{e^x}{1+e^x}}$
θέτω $\displaystyle{u=y'-y}$ και έχω $\displaystyle{u'-3u=\frac{e^x}{1+e^x}}$
άρα $\displaystyle{e^{-3x}u'-3e^{-3x}=\frac{e^{-2x}}{1+e^x}}$ δηλαδή $\displaystyle{(e^{-3x}u)'=\frac{e^{-2x}}{1+e^x}}$ αρα $\displaystyle{u=e^{3x}(\int{\frac{e^{-2x}}{1+e^x}dx}+c)}$
το $\displaystyle{I=\int{\frac{e^{-2x}}{1+e^x}dx}}$ υπολογίζεται αν θέσουμε $\displaystyle{1+e^x=w}$ και αναλύσουμε σε άθροισμα απλών κλασμάτων...
$\displaystyle{y'-y=e^{3x}(\int{\frac{e^{-2x}}{1+e^x}dx}+c)}$
πολλαπλασιάζουμε με $\displaystyle{e^{-x}}$ και ...

η 3η
Για πιο φυσιολογικό β μέλος θέτω $\displaystyle{lnx=t}$
από κανόνα αλυσίδας $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}}$ ή $\displaystyle{y'=\dot{y}\frac{1}{x}}$
και για την β παράγωγο $\displaystyle{y''=\frac{1}{x^2}\ddot{y}-\frac{1}{x^2}\dot{y}}$
Aντικαθιστώντας παίρνουμε $\displaystyle{\ddot{y}+4y=cost+e^tsint}$
Απο εδώ και περα δεν βρήκα λυκειακό τρόπο να συνεχίσω
(Γενική λύση $\displaystyle{c_1sin(2t)+c_2cos(2t))}$
(Mια μερική λύση της μορφής γραμμικου συνδιασμού $\displaystyle{sint ,cost,e^tcost,e^tsint}$

4 Διαφορικά προβληματάκια.

4 Διαφορικά προβληματάκια.

Re: 4 Διαφορικά προβληματάκια.

Μέλη σε σύνδεση