Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Αποστόλης · #61

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: (Γ Γυμνασίου) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=a^8 +a^4 +1}$

$\displaystyle{(a^4)^2+a^4+1^2}$
$\displaystyle{(a^4)^2+2a^4-a^4+1^2}$
ταυτοτητα
$\displaystyle{(a^4+1)^2-(a^2)^2}$
$\displaystyle{(a^4+1-a^2)(a^4+1+a^2)}$
$\displaystyle{[a^4+(a+1)(a-1)](a^4+1+a^2)}$

tottis2000 · #62

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27
Ίσα τμήματα.png
Στο σχήμα που βλέπετε , εξηγήστε γιατί είναι

Για να λύσουμε αυτή την άσκηση σύμφωνα με το σχήμα που έχουμε θα κάνουμε τα εξής:

Για να βρούμε το $\displaystyle{LL'}$ θα φέρουμε μία γραμμή από το $\displaystyle{L'}$ στο $\displaystyle{O}$ η οποία επειδή είναι ακτίνα του του κύκλου θα είναι $\displaystyle{5}$ και ξέρουμε ότι η $\displaystyle{OL}$ είναι $\displaystyle{3}$ τότε σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα η $\displaystyle{LL'}$ θα είναι $\displaystyle{4}$ . Άρα η $\displaystyle{LL'}$ αποδείξαμε ότι είναι $\displaystyle{4}$ .

Για να βρούμε την $\displaystyle{MS}$ αρχικά θα πρέπει να βρούμε την $\displaystyle{KK'}$ η οποία εάν φέρουμε την $\displaystyle{OK'}$ και εφαρμόσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα η $\displaystyle{OK}$ είναι $\displaystyle{4}$ η $\displaystyle{OK'}$ είναι $\displaystyle{5}$ και η $\displaystyle{KK'}$ θα είναι $\displaystyle{3}$ .

Άρα το $\displaystyle{MS}$ είναι $\displaystyle{OA+KK}$ δια δύο, Άρα $\displaystyle{5+3 :2= 4}$ . Αποδείξαμε έτσι ότι η $\displaystyle{LL΄}$ είναι ίση με την $\displaystyle{MS}$ , και οι δύο είναι $\displaystyle{4}$ .

#63

Αποστόλης έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: (Γ Γυμνασίου) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=a^8 +a^4 +1}$
$\displaystyle{(a^4)^2+a^4+1^2}$
$\displaystyle{(a^4)^2+2a^4-a^4+1^2}$
ταυτοτητα
$\displaystyle{(a^4+1)^2-(a^2)^2}$
$\displaystyle{(a^4+1-a^2)(a^4+1+a^2)}$
$\displaystyle{[a^4+(a+1)(a-1)](a^4+1+a^2)}$

Ωραία ξεκίνησες Αποστόλη την λύση. Για να ολοκληρωθεί όμως, πρέπει :

(α) Στην πρώτη παρένθεση που κατέλησες να μην κάνεις την διαφορά τετραγώνων, αφού δεν παραγοντοποιείται τελικά η παράσταση

(β) Στην δεύτερη παρένθεση που κατέληξες, πρέπει να συνεχίσεις με τον ίδιο τρόπο όπως ξεκίνησες, ώστε να την παραγοντοποιήσεις και αυτή.

#64

ΑΣΚΗΣΗ 28-Β: (Α , Β Γυμνασίου): Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{(3+3+ . . . +3)^2 +(4+4+ . . . +4)^2 =(5+5+ . . . +5)^2}$ , όπου σε κάθε παρένθεση, οι όροι των αθροισμάτων είναι

2013.

stergios7 · #65

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: (Α , Β Γυμνασίου): Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{(3+3+ . . . +3)^2 +(4+4+ . . . +4)^2 =(5+5+ . . . +5)^2}$ , όπου σε κάθε παρένθεση, οι όροι των αθροισμάτων είναι

2013.

$\displaystyle{(2013.3)^{2}+(2013.4)^{2}=(2013.5)^{2}}$
$\displaystyle{2013^{2}.3^{2}+2013^{2}.4^{2}=2013^{2}.5^{2}}$
$\displaystyle{2013^{2}.9+2013^{2}.16=2013^{2}.25}$
$\displaystyle{2013^{2}.(9+16)=2013^{2}.25}$
$\displaystyle{2013^{2}.25=2013^{2}.25}$
Άρα είναι ίσα.

#66

ΑΣΚΗΣΗ 29: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ και $\displaystyle{y\neq -1}$ και αν

$\displaystyle{\frac{x^n +y^n -1}{x^n+y^n +1}=\frac{x^n -y^n +1}{x^n -y^n -1}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=0}$

KARKAR · #67

ΑΣΚΗΣΗ 30

: Ίσες διαδρομές.png (6.84 KiB) Προβλήθηκε 2510 φορές

Δύο φίλοι ξεκινούν μαζί από το σημείο

με σκοπό να συναντηθούν στο σημείο

, ακολουθώντας ο ένας την

κόκκινη και ο άλλος τη μπλε διαδρομή . Αν οι διαδρομές είναι ίσες , βρείτε - συναρτήσει της ακτίνας - το

#68

ΑΣΚΗΣΗ 31 (Β Γυμνασίου) Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{\bar{ab}}$ ,

με $\displaystyle{a<b}$ , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{14(a+b)-\bar{ba}-\bar{ab}}}$ , είναι φυσικός.

raf616 · #69

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31 (Β Γυμνασίου) Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{\bar{ab}}$ ,

με $\displaystyle{a<b}$ , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{14(a+b)-\bar{ba}-\bar{ab}}}$ , είναι φυσικός.

Αρκεί να βρούμε τα a, b

για τα οποία ο αριθμός $14(a + b) - \overline{ba} - \overline{ab}$ είναι τέλειο τετράγωνο. Είναι:

$14(a + b) - \overline{ba} - \overline{ab} = 14a + 14b - 10b - a - 10a - b= 3(a + b)$

Αφού $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ θα είναι $a + b \leq 18$ .

Tα μόνα τέλεια τετράγωνα για τα οποία ισχύουν οι συνθήκες είναι τα

και

. Έτσι:

$\bullet$ $3(a + b) = 9 \Leftrightarrow a + b = 3$

Αφού a < b

παίρνουμε τη λύση (a, b) = (1, 2)

$\bullet$ $3(a + b) = 36 \Leftrightarrow a + b = 12$

Αφού a < b

παίρνουμε τις λύσεις:

(a, b) = (3, 9)

Έτσι, προσδιορίσαμε όλους τους αριθμούς.

#70

ΑΣΚΗΣΗ 32: (Α,Β Γυμνασίου)

: SXHMA.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 2416 φορές

Δίνεται το τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με βάσεις τις $\displaystyle{AB , CD}$ και επί της πλευράς $\displaystyle{AD}$ θεωρούμε ένα σημείο $\displaystyle{M}$ , έτσι

ώστε να είναι $\displaystyle{DM=DC}$ . Με κέντρο το $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{AM}$ γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει την βάση $\displaystyle{AB}$

στο σημείο $\displaystyle{P}$ .

(α) Αν $\displaystyle{\widehat{BAD}=40^{o}}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{MPC}$ είναι ορθογώνιο.

(β) Αν επί πλέον δίνεται ότι $\displaystyle{\widehat{CPB}=35^{o}}$ , να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του παραπάνω

ορθογωνίου τριγώνου.

#71

ΑΣΚΗΣΗ 33: (Γ Γυμνασίου)

: SX.png (4.74 KiB) Προβλήθηκε 2403 φορές

Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του σχήματος, δίνεται ότι $\displaystyle{MC=CN=AP=x}$ και $\displaystyle{AB=10 , BC=6}$ .

Αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{PMN}$ είναι ίσο με $\displaystyle{12}$ τετραγωνικές μονάδες, να βρεθεί το $\displaystyle{x}$

stergios7 · #72

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32: (Α,Β Γυμνασίου)

SXHMA.png
Δίνεται το τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με βάσεις τις $\displaystyle{AB , CD}$ και επί της πλευράς $\displaystyle{AD}$ θεωρούμε ένα σημείο $\displaystyle{M}$ , έτσι

ώστε να είναι $\displaystyle{DM=DC}$ . Με κέντρο το $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{AM}$ γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει την βάση $\displaystyle{AB}$

στο σημείο $\displaystyle{P}$ .

(α) Αν $\displaystyle{\widehat{BAD}=40^{o}}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{MPC}$ είναι ορθογώνιο.

(β) Αν επί πλέον δίνεται ότι $\displaystyle{\widehat{CPB}=35^{o}}$ , να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του παραπάνω

ορθογωνίου τριγώνου.

(α)
$\displaystyle{MA=AP}$ αφού είναι ακτίνες στον κύκλο.
Άρα $\displaystyle{\widehat{AMP}=\widehat{MPA}=70^{o}}$ ως παρά την βάση γωνίες και $\displaystyle{\widehat{ADC}=140^{o}}$ αφού έχουμε τραπέζιο.
Άρα $\displaystyle{\widehat{DMC}=\widehat{DCM}=20^{o}}$ ως παρά την βάση γωνίες.
Τότε $\displaystyle{\widehat{CMP}=180-(20+70)=90}$ άρα το $\displaystyle{MCP}$ είναι ορθογώνιο
(β)
$\displaystyle{\widehat{MPC}=180-(70+35)=75^{o}}$ ως παραπληρωματικές
και $\displaystyle{\widehat{MCP}=180-(90+75)=15^{o}}$ από το ορθογώνιο.

raf616 · #73

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ και $\displaystyle{y\neq -1}$ και αν

$\displaystyle{\frac{x^n +y^n -1}{x^n+y^n +1}=\frac{x^n -y^n +1}{x^n -y^n -1}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=0}$

Αξιοποιώντας τη σχέση που μας δίνεται έχουμε:

$\displaystyle{\frac{x^n +y^n -1}{x^n+y^n +1}=\frac{x^n -y^n +1}{x^n -y^n -1} \Leftrightarrow (x^n - 1 + y^n)(x^n - 1 - y^n) = (x^n + 1 - y^n)(x^n + 1 + y^n) \Leftrightarrow (x^n - 1)^2 - (y^n)^2 = (x^n + 1)^2 - (y^n)^2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^{2n} - 2x^n + 1 = x^{2n} + 2x^n + 1 \Leftrightarrow 4x^n = 0 \Leftrightarrow x = 0}$

Έτσι, αποδείξαμε το ζητούμενο.

#74

ΑΣΚΗΣΗ 34: (Β Γυμνασίου)

: ΣΧ.1.png (3.34 KiB) Προβλήθηκε 2314 φορές

Στο σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο $\displaystyle{BCD}$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

. Αν $\displaystyle{AC=8 , AB=6}$

και $\displaystyle{CD=9}$ , να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλέύρου $\displaystyle{ABDC}$ .

KARKAR · #75

ΑΣΚΗΣΗ 35

: Τρία τετράγωνα.png (10.07 KiB) Προβλήθηκε 2302 φορές

Στο σχήμα μας , το πράσινο , τετράγωνο πλευράς

, έχει τοποθετηθεί δίπλα στο μπλε τετράγωνο , πλευράς

.

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο

της ευθείας

, ώστε το κόκκινο παραλληλόγραμμο να είναι και αυτό

τετράγωνο και δείξτε ότι το εμβαδόν του , ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων τετραγώνων .

stergios7 · #76

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34: (Β Γυμνασίου)

ΣΧ.1.png
Στο σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο $\displaystyle{BCD}$ είναι ισοσκελές με κορυφή το . Αν $\displaystyle{AC=8 , AB=6}$

και $\displaystyle{CD=9}$ , να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλέύρου $\displaystyle{ABDC}$ .

Θα βρούμε το εμβαδόν του $\displaystyle{ABC=\frac{6.8}{2}=24}$ και από το πυθαγώρειο βγαίνει ότι $\displaystyle{BC=10}$ .
Αν η $\displaystyle{DE}$ είναι το ύψος τότε $\displaystyle{EC=5}$ και μέσω πυθαγωρίου βγαίνει ότι $\displaystyle{DE=\sqrt{56}}$ άρα το εμβαδόν του $\displaystyle{BCD}$ είναι $\displaystyle{\frac{10.\sqrt{56}}{2}=5.\sqrt{56}}$
Άρα $\displaystyle{ABDC=24+5.\sqrt{56}}$

#77

AΣΚΗΣΗ 36: (Β Γυμνασίου) (Μια εισαγωγή στην "εις άτοπον απαγωγή")

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι ακέραιοι και αν $\displaystyle{\frac{x^2 +xy}{y}+\frac{y^2 +2xy}{x}=\frac{19}{2}}$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{x\neq y}$

raf616 · #78

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 35
Το συνημμένο Τρία τετράγωνα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο σχήμα μας , το πράσινο , τετράγωνο πλευράς , έχει τοποθετηθεί δίπλα στο μπλε τετράγωνο , πλευράς .

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο της ευθείας , ώστε το κόκκινο παραλληλόγραμμο να είναι και αυτό

τετράγωνο και δείξτε ότι το εμβαδόν του , ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων τετραγώνων .

: Τετράγωνο.PNG (15.23 KiB) Προβλήθηκε 2234 φορές

Αρχικά, συγχωρέστε με για το σχήμα γιατί αυτό που έφτιαξα μόνο τετράγωνο δε λέγεται... Ας πάμε στην άσκηση τώρα...

Ας πούμε AB = a

,

και

.

Θα πρέπει να ισχύει y = z

.

Από Π.Θ στο τρίγωνο ZSE

έχουμε:

$z^2 = b^2 + (b - x)^2 \Leftrightarrow z^2 = 2b^2 - 2bx + x^2$

Ξανά από Π.Θ στο DAS

έχουμε:

$y^2 = a^2 + (a + x)^2 \Leftrightarrow y^2 = 2a^2 + 2ax + x^2$

Άρα:

$\displaystyle{z = y \Leftrightarrow z^2 = y^2 \Leftrightarrow 2b^2 - 2bx + x^2 = 2a^2 + 2ax + x^2 \Leftrightarrow b^2 - bx - a^2 - ax = 0 \Leftrightarrow a^2 - b^2 + bx + ax = 0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (a - b)(a + b) + x(a + b) = 0 \Leftrightarrow (a + b)(a - b + x) = 0}$

Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται και άρα:

$a - b + x = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = b - a}$

Έτσι, προσδιορίσαμε τη θέση του

.

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι ισχύει y^2 = a^2 + b^2

Έτσι, το εμβαδόν του νέου τετραγώνου ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο.

Έτσι, όλα τα ζητούμενα έχουν δειχθεί.

stergios7 · #79

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 36: (Β Γυμνασίου) (Μια εισαγωγή στην "εις άτοπον απαγωγή")

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι ακέραιοι και αν $\displaystyle{\frac{x^2 +xy}{y}+\frac{y^2 +2xy}{x}=\frac{19}{2}}$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{x\neq y}$

Έστω $\displaystyle{x=y}$ τότε
$\displaystyle{\frac{x^{2}+x^{2}+x^{2}+2.x^{2}}{x}=\frac{19}{2}}$
$\displaystyle{\frac{5.x^{2}}{x}=\frac{19}{2}}$
$\displaystyle{5x=\frac{19}{2}}$
$\displaystyle{10x=19}$
$\displaystyle{x=\frac{19}{10}}$
Βγαίνει ότι το $\displaystyle{x}$ δεν είναι ακέραιος,που αποκλείεται από την υπόθεση, άρα δεν γίνεται το $\displaystyle{x}$ να είναι ίσο με το $\displaystyle{y}$ .

#80

AΣΚΗΣΗ 37: (Α Γυμνασίου) Σε μια φιλική συγκέντρωση $\displaystyle{22}$ μαθητών,οι $\displaystyle{10}$ έφαγαν πίτσα ,

οι $\displaystyle{9}$ τυρόπιτα ενώ $\displaystyle{4}$ μαθητές, έφαγαν και πίτσα και τυρόπιτα. Πόσοι μαθητές δεν έφαγαν τίποτα;

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση