Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

astakokaravida · #41

NikosTheodorakis έγραψε:Θέμα Α: Θεωρία.

Θέμα Β: Πολύ απλό θέμα διαφορικού λογισμού.

Θέμα Γ: Τα Γ1, Γ2 είναι στη φιλοσοφία των ασκήσεων και εφαρμογών του σχολικού και θεωρούνται βατά ερωτήματα. Το Γ3 θεωρείται επίσης βατό και το Γ4 μέτριας δυσκολίας.

Θέμα Δ: Το Δ1 είναι βατό θέμα που συνδυάζει γνώσεις από διάφορα κεφάλαια της ύλης. Το Δ2 είναι ένα βατό θέμα πάνω στις συναρτήσεις και τον διαφορικό λογισμό. Το όριο του Δ3 είναι αρκετά βατό καθώς είναι προφανής ο τρόπος επίλυσης (κριτήριο παρεμβολής). Η ανίσωση που ζητείται να αποδειχθεί στο Δ4 είναι επίσης βατή.

Σε γενικές γραμμές θα χαρακτήριζα τα θέματα ως τα ευκολότερα της τελευταίας 15ετίας. Η βάση πιάνεται και από τους ελάχιστα προετοιμασμένους, το 15 πιάνεται εύκολα από έναν μέτριο μαθητή και οι καλά προτετοιμασμένοι θα διακυμανθούν από 18-20. Θα έχουμε αρκετά 20άρια. Τα θέματα αδικούν τους πολύ καλά προετοιμασμένους και ταλαντούχους μαθητές, οι οποίοι δεν θα καταφέρουν να διακριθούν. Πάντως η διαβάθμιση των θεμάτων ήταν ικανοποιητική και τα θέματα κάλυπταν σχετικά μεγάλο μέρος της ύλης, προσωπικά περίμενα και Rolle και αντίστροφη και Bolzano που έλλειπαν από το διαγώνισμα.

Το Γ2 δεν ειναι βατο... Οταν τα βλεπεις λυμενα ολα βατα ειναι... Ο ελαχιστα προετοιμασμενος δεν γραφει ολη την θεωρια... Τουλαχιστον με αυτα τα θεματα θα εχουμε μεγαλυτερη διασπορα των βαθμων και ειναι πιο αντικειμενικη η αξιολογηση... Και μην ξεχναμε οτι τα θεματα ειναι για μαθητες που εχουν να αντιμετωπισουν και αλλα μαθηματα...

plat_man · #42

Ο υπολογισμός του Δ4, σελίδα 337

simantiris j. · #43

Δ4
Η πρώτη ανισότητα προφανώς ισχύει αφού $e^\pi >1$ και $f(\ln x)>0$ από προηγούμενο ερώτημα.
Για τη 2η: $\int_{1}^{e^\pi }{\frac{f(\ln x)}{x}}dx=\int_{1}^{e^\pi }{f(\ln x)(\ln x)'}dx=\pi ^2-\int_{1}^{e^\pi }{f'(\ln x)\ln x}dx<\pi ^2$ αφού $\ln x>0$ για x>1

και $f'(\ln x)>0$ αφού

γνησίως αύξουσα.
Καλή επιτυχία στους υποψηφίους!

Kostas Tzimoulias · #44

Μια απροσεξία στο Δ.) θέμα ενω πηγαινα για το άριστα με κατέστρεψε και εχασα όλα τα ερωτήματα..βρήκα λάθος τη συνάρτηση

.. Βρηκα ότι ήταν η ταυτοτική αλλά με λάθος τρόπο γιατί δεν πρόσεξα ότι στη συναρτησιακή είχε f(f(x))

και όχι

...κρίμα :/

Ζωβοΐλης Ηλίας · #45

silouan έγραψε:ΘΕΜΑ Δ

Δ1 Από τη συνέχεια της έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)$ . Αν τώρα $f(0)\neq 0$ τότε
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin x}=\pm\infty$ άτοπο.

Επομένως . Επιπλέον εφαρμόζοντας Del' Hospital παίρνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x}=1$ και από τη συνέχεια της έπεται ότι

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες δύο φορές έχουμε ότι

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin x\, dx=-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos x\, dx=f(\pi)+f(0)-\int_{0}^{\pi}f(x)\sin x\, dx$ , οπότε από τη δοθείσα έχουμε ότι

$f(\pi)+f(0)=\pi$ και αφού , θα είναι $f(\pi)=\pi.$

Δ2
Με παραγώγιση στη δοθείσα παίρνουμε $\displaystyle e^{f(x)}f'(x)+1=f'(x)f'(f(x))+e^x$
Έστω τώρα τέτοιο ώστε , τότε από την παραπάνω παίρνω ότι δηλαδή , άτοπο, αφού .
Άρα η δεν έχει ακρότατα.
Επομένως η είναι μη μηδενιζόμενη και ως συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο. Δεδομένου ότι , θα έχουμε ότι για κάθε , άρα γνήσια αύξουσα.

Δ3 $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ , έπεται ότι η δεν είναι φραγμένη. Αυτό σε συνδυασμό με το γεγονός ότι είναι γνήσια αύξουσα, συνεπάγεται ότι $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$

Επιπλέον $|\sin x+\cos x|\leq 2$ επόμενως είμαστε στην περίπτωση μηδενική επί φραγμένη και το ζητούμενο όριο ισούται με .

Δ4 Αφού η είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε ότι $f(0)=f(\ln 1)\leq f(\ln x)\leq f(\pi)=\pi$ για κάθε $x\in [1,e^{\pi}].$

Επομένως
$\displaystyle 0\leq\int_{1}^{e^{\pi}}\frac{f(\ln x)}{x}\, dx\leq \int_{1}^{e^{\pi}}\frac{\pi}{x}\, dx=\pi^2.$

Η ισότητα αριστερά και δεξιά ισχύει αν και μόνο αν η είναι σταθερή (λόγω συνέχειας), το οποίο είναι άτοπο καθώς είναι γνησίως αύξουσα.

Έχω την εντύπωση ότι δεν μπορούμε να κάνουμε χρήση του κανόνα Del' Hospital,καθώς γνωρίζουμε ποιο είναι το όριο και δεν το αναζητούμε!

diomides · #46

τα θέματα από κάθε άποψη ήταν πολύ ωραία. από τα πιο πετυχυμένα των τελευταίων ετών.

σωστή διαβάθμιση, καλή διατύπωση. ειδικά το θέμα Δ ήταν εξαιρετικό για θέμα Δ.

το Β βατό
το Γ για καλούς μαθητές

τα θέματα ήταν δύσκολα με το σωστό επίπεδο δυσκολίας, αυτό που πρέπει για πανελλήνιες

αυτά

apotin · #47

Κάποτε πρέπει να λυθεί επιτέλους η "νομιμότητα" χρήσης της συνεπαγωγής:

$\displaystyle{f\left( x \right) < g\left( x \right),{\kern 1pt} \;x \in \left[ {a,\;b} \right] \Rightarrow \int_a^b {f\left( x \right)dx} < \int_a^b {g\left( x \right)dx} }$

NikosTheodorakis · #48

Καλησπέρα,
θα απαντήσω στις ερωτήσεις και στα σχόλια όλων:

1. Όταν αναφέρομαι σε διαβάθμιση μιλώ ότι το Β θέμα είναι ευκολότερο από το Γ και το Γ λίγο ευκολότερο από το Δ.

2. Τα θέματα δεν έχουν κάποιο απίστευτο υπολογιστικό τρικ (π.χ. 2013), δεν ζητούν από τον μαθητή κάποιον δύσκολο συλλογισμό ούτε απαιτούν πολύ σύνθετη σκέψη και διάφορα κόλπα (π.χ. 2015). Τα θέματα είναι ξεκάθαρα. Το Β θέμα είναι πολύ εύκολο, απλή εφαρμογή γνώσεων. Τώρα τα υπόλοιπα είναι στα πλαίσια του σχολικού και λίγο παραπάνω. Σοβαροί μαθητές που ασχολούνται συστηματικά και διεκδικούν σοβαρές σχολές δεν θα έπρεπε να δυσκολεύτηκαν. Βάζοντας στην εξίσωση ότι μιλάμε και για πεδιά με άγχος, οι καλά προετοιμασμένοι θα διακυμανθούν κυρίως από 18-20 εκτός ελάχιστων εξαιρέσεων.

3. Περιμένουμε τον σχολιασμό από την Ε.Μ.Ε. και τα στατιστικά του Ιουνίου.

Υ.Γ. Δεν είμαι καθηγητής αλλά φοιτητής και εξεταζόμουν πέρυσι στα πολύ απαιτητικά μαθηματικά κατεύθυνσης, οπότε ξέρω πως είναι να ζείς θέματα από πλευρά μαθητή με άγχος και υπό την πίεση του χρόνου.

Φιλικά!

Τσιαλας Νικολαος · #49

apotin έγραψε:Κάποτε πρέπει να λυθεί επιτέλους η "νομιμότητα" χρήσης της συνεπαγωγής:

$\displaystyle{f\left( x \right) < g\left( x \right),{\kern 1pt} \;x \in \left[ {a,\;b} \right] \Rightarrow \int_a^b {f\left( x \right)dx} < \int_a^b {g\left( x \right)dx} }$

την χρησειμοποιείς άνετα αν την αποδείξεις...μια σειρά απόδειξη είναι..

apotin · #50

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
apotin έγραψε:Κάποτε πρέπει να λυθεί επιτέλους η "νομιμότητα" χρήσης της συνεπαγωγής:

$\displaystyle{f\left( x \right) < g\left( x \right),{\kern 1pt} \;x \in \left[ {a,\;b} \right] \Rightarrow \int_a^b {f\left( x \right)dx} < \int_a^b {g\left( x \right)dx} }$
την χρησειμοποιείς άνετα αν την αποδείξεις...μια σειρά απόδειξη είναι..

Θα μπορούσε να είναι και μια σειρά στις οδηγίες διδασκαλίας

cristsuk · #51

Καλό μεσημέρι και καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές που δίνουν τον αγώνα τους.
Τα θέματα σε word

aspinoulas · #52

Πάντως όσο περνά η ώρα αποκρυσταλλώνεται πιστεύω το ότι παρά την αρχική εντύπωση της βατότητας των θεμάτων , οι υποψήφιοι αντιμετώπισαν δυσκολίες κυρίως διότι υπήρχαν και ερωτήματα θεωρητικά.Θεωρώ ότι η κατανομή των βαθμολογιών θα είναι παρόμοια με την περσινή με ίσως κάποια "μεταφορά" βαθμολογιών από τη ζώνη 7-10 στη ζώνη 10-13. Καλά αποτελέσματα σε όλους!

MarKo · #53

Για το Δ3 όπου αφορά για το σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης και τα όρια, είχε γίνει παρόμοια αναφορά σε αυτό το post

viewtopic.php?f=52&t=51156 ,

με κατατοπιστική απάντηση από τον κύριο Νίκο Μαυρογιάννη (nsmavrogiannis) .

Stateofmind · #54

Καλησπέρα στη παρέα, μαθητής εδω.

Στο Β πιστεύω πολλοί θα την πάτησαν με τη γραφική παράσταση. Προσωπικά με έσωσε το σύνολο τιμων.Νομίζω ήταν f(A)=[0,1)

Θεωρώ το θέμα Γ δυσκολότερο από το Δ, ειδικότερα το Γ2 και Γ4
Στο Δ4 έθεσα $u=\ln x$ Και μετά χρησιμοποίησα μονοτονία.
Επίσης στο Δ2 για την μονοτονία είπα ότι επειδή η

δεν έχει ακρότατα, θα είναι γνησίως μονότονη (χρειάζεται απόδειξη;;) και ύστερα είπα 0<π

και

. Επομένως, η f δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι γνησίως μονότονη, ειναι τελικά γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα

NikosTheodorakis · #55

Stateofmind έγραψε:Καλησπέρα στη παρέα, μαθητής εδω.

Στο Β πιστεύω πολλοί θα την πάτησαν με τη γραφική παράσταση. Προσωπικά με έσωσε το σύνολο τιμων.Νομίζω ήταν f(A)=[0,1)
Θεωρώ το θέμα Γ δυσκολότερο από το Δ, ειδικότερα το Γ2 και Γ4
Στο Δ4 έθεσα u=lnx Και μετά χρησιμοποίησα μονοτονία.
Επίσης στο Δ2 για την μονοτονία είπα ότι επειδή η f δεν έχει ακρότατα, θα είναι γνησίως μονότονη (χρειάζεται απόδειξη;;) και ύστερα είπα 0<π και f(0)<f(π). Επομένως, η f δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι γνησίως μονότονη, ειναι τελικά γνησίως αύξουσα στο R.

Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα

Παραπομπή:

Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."

tsalikdimd · #56

Στο Γ4 συνάδελφοι αν πω ότι η προφανής ρίζα είναι η x=0

και κατόπιν με εφαρμογή ΘΜΤ στα κατάλληλα διαστήματα αποδείξω ότι για κάθε x>0

το πρώτο μέλος της εξίσωσης που ζητείται είναι μικρότερο από το δεύτερο μέλος δεν αποδεικνύω ότι μοναδική ρίζα είναι το

;

perpant · #57

Τα σχόλια από την ΕΜΕ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Ειδικά Σχόλια

Θέμα Α:

Θεωρία

Θέμα Β:

Ελέγχονται βασικές γνώσεις της Ανάλυσης.

Θέμα Γ:

Εξετάζεται μεγάλο μέρος της Ανάλυσης με ερωτήματα κλιμακούμενης δυσκολίας.

Τα ερωτήματα Γ2, Γ4 θα δυσκολέψουν αρκετούς υποψήφιους.

Θέμα Δ:

Η επιτυχής αντιμετώπιση προϋποθέτει πολύ καλή γνώση της θεωρίας και αυξημένη μαθηματική ικανότητα.

Η πλήρης αιτιολόγηση των ερωτημάτων Δ2β και Δ3 απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και ευχέρεια σε λεπτούς χειρισμούς

και απευθύνεται σε πολύ καλά προετοιμασμένους υποψηφίους.

Γενικά Σχόλια

Καλύπτεται το σύνολο σχεδόν της ύλης.
Ο διατιθέμενος χρόνος για την πλήρη και επιτυχή διαπραγμάτευση των θεμάτων ήταν οριακός.
Τα ερωτήματα παρουσίαζαν κλιμάκωση ως προς τη δυσκολία.
Ένας μεγάλος αριθμός ερωτημάτων έχει σαφή αναφορά στο σχολικό βιβλίο

Παρότι οι φετινές εξετάσεις δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες με τις περσινές, τα θέματα είναι παρόμοιας δυσκολίας

με τα αντίστοιχα περσινά.

Για το Διοικητικό Συμβούλιο
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Ο Πρόεδρος Ο Γενικός Γραμματέας
Νικόλαος Αλεξανδρής Ιωάννης Τυρλής
Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Stateofmind · #58

perpant έγραψε:Τα σχόλια από την ΕΜΕ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Ειδικά Σχόλια

Θέμα Α:

Θεωρία

Θέμα Β:

Ελέγχονται βασικές γνώσεις της Ανάλυσης.

Θέμα Γ:

Εξετάζεται μεγάλο μέρος της Ανάλυσης με ερωτήματα κλιμακούμενης δυσκολίας.

Τα ερωτήματα Γ2, Γ4 θα δυσκολέψουν αρκετούς υποψήφιους.

Θέμα Δ:

Η επιτυχής αντιμετώπιση προϋποθέτει πολύ καλή γνώση της θεωρίας και αυξημένη μαθηματική ικανότητα.

Η πλήρης αιτιολόγηση των ερωτημάτων Δ2β και Δ3 απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και ευχέρεια σε λεπτούς χειρισμούς

και απευθύνεται σε πολύ καλά προετοιμασμένους υποψηφίους.

Γενικά Σχόλια

Καλύπτεται το σύνολο σχεδόν της ύλης.
Ο διατιθέμενος χρόνος για την πλήρη και επιτυχή διαπραγμάτευση των θεμάτων ήταν οριακός.
Τα ερωτήματα παρουσίαζαν κλιμάκωση ως προς τη δυσκολία.
Ένας μεγάλος αριθμός ερωτημάτων έχει σαφή αναφορά στο σχολικό βιβλίο

Παρότι οι φετινές εξετάσεις δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες με τις περσινές, τα θέματα είναι παρόμοιας δυσκολίας

με τα αντίστοιχα περσινά.

Για το Διοικητικό Συμβούλιο
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Ο Πρόεδρος Ο Γενικός Γραμματέας
Νικόλαος Αλεξανδρής Ιωάννης Τυρλής
Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Συμφωνώ σε όλα. Με κάλυψε πλήρως

efakop · #59

Τα θέματα δεν ήταν όλα βατά. Δεν είχαν τόσα τρυκάκια και βοηθητικές συναρτήσεις αλλά απαιτούσαν μεγαλύτερη μαθηματική ικανότητα από άλλα χρόνια.

Ένα αρνητικό είναι οι πολλές μονάδες στα Γ2 και Γ4. Πολλοί μαθητές επέμειναν σε αυτά (λόγω πολλών μονάδων) με αποτέλεσμα να χάσουν χρόνο για να πάνε στο Δ.
Πιστεύω πως οι καλά προετοιμασμένοι μαθητές αλλά όχι με μεγάλες μαθηματικές ικανότητες θα κινηθούν στο 13-16.

Πχ έχω μαθητή που από το Δ θέμα έλυσε μόνο το Δ2 (πήγε με άτοπο Fermat αλλά το άφησε ένα βήμα πριν γιατί δεν μπορούσε να δει το άτοπο) και το Δ3(!), ενώ δεν πρόλαβε το Δ4 και δεν κατάφερε το Δ1. Κυρίως λόγω των συνεχόμενων επιστροφών του στο θέμα Γ.
Επίσης περιμένω και υπολογιστικά λάθη στο θέμα Β και ελλείψεις αιτιολογήσεων από μαθητές που πιστεύουν πως έχουν πάει από καλά εώς πολύ καλά.

nikolaos p. · #60

Το θέμα του χρόνου που όπως ειπώθηκε ήταν οριακός, πιστεύω θα παίξει σημαντικό ρόλο. Καλά αποτελέσματα σε όσους διαγωνίστηκαν!

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση