ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Μάκης Χατζόπουλος · #41

Πρόβλημα 1/μικρών
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και έστω

το μέσο της πλευράς

. Εξωτερικά του τριγώνου θεωρούμε παραλληλογράμμου BCDE

, τέτοιο ώστε: BE // AM

και $BE=\frac{AM}{2}$ .

Να αποδειχθεί ότι η ευθεία

περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

.

Λύση
Η λύση προκύπτει άμεσα από το σχήμα

panagiotis99 · #42

rtsiamis έγραψε:
panagiotis99 έγραψε: Δεν νομιζω πως η λυση σου ειναι σωστη καθως αληθευει για ολες τις τριαδες πραγματικων που εχουν γινομενο -1

Χαντζαρας Παναγιωτης
Κατ´ αρχάς συγχαρητήρια για τη διάκρισή σου.... Οφείλω όμως να πω ότι εδώ έχεις άδικο.
Δεν αληθεύει, π.χ., για τις τιμές Στο κάτω-κάτω, θα έβαζαν άσκηση στην οποία η λύση είναι τόσο απλή;
Τσιάμης Ραφαήλ

ναι εχεις δικιο απροσεξια μου και σε ευχαριστω για την επισημανση σου

επισης συχγαρητηρια για την διακριση σου στον αρχιμηδη ελπιζω να τα πουμε στα προκριματικα

parmenides51 · #43

επίσημες εκφωνήσεις + λύσεις εδώ

#44

Το πρόβλημα 3 των μικρών προτάθηκε στην περσινή JBMO!

#45

socrates έγραψε:Το πρόβλημα 3 των μικρών προτάθηκε στην περσινή JBMO!

Ήταν ελληνική πρόταση στη Shortlist που πρέπει να κρατιέται μυστική ως την επόμενη JBMO.

gavrilos · #46

Καλησπέρα.Ξέρω πως "ξεθάβω" παλιό θέμα αλλά νομίζω πως βρήκα μια λύση για το γεωμετρικό θέμα των μεγάλων.

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{c\left(O,R\right)}$ και δύο σημεία του $\displaystyle{A,B}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{R<AB<2R}$ .Ο κύκλος $\displaystyle{c_{1}\left(A,r)}$ με $\displaystyle{r<R}$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{c}$ στα σημεία $\displaystyle{C,D}$ (το σημείο $\displaystyle{C}$ ανήκει στο μικρό τόξο $\displaystyle{AB}$ ).Απ' το σημείο $\displaystyle{B}$ θεωρούμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{BE,BF}$ στον κύκλο $\displaystyle{c_{1}}$ ώστε απ' τα σημεία επαφής το $\displaystyle{E}$ βρίσκεται εκτός του κύκλου $\displaystyle{c}$ .Οι ευθείες $\displaystyle{EC,DF}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{M}$ .Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{BCFM}$ είναι εγγράψιμο.

Βήμα 1

: Γεωμετρια mathematica_100(1).PNG (16.05 KiB) Προβλήθηκε 1935 φορές

Ισχύει $\displaystyle{\hat{BAD}=\hat{BCD}}$ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο του κύκλου $\displaystyle{c}$ .

$\rule{430pt}{1pt}$

Βήμα 2

: Γεωμετρια mathematica_100(2).PNG (17.36 KiB) Προβλήθηκε 1935 φορές

Ισχύει $\displaystyle{\hat{ECM}=\hat{EDF}}$ ως εσωτερική και απέναντι εξωτερική γωνία του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $\displaystyle{ECFD}$ .

Όμως $\displaystyle{\hat{EDF}=\hat{EFB}}$ απ' το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης.Επίσης $\displaystyle{\hat{EFB}=\hat{EAB}}$ απ' το εγγράψιμο $\displaystyle{AEBF}$ .

Άρα $\displaystyle{\hat{ECM}=\hat{EAB}}$ .

Άρα η ισότητα του βήματος 1 που γράφεται $\displaystyle{\hat{EAB}+\hat{DAE}=\hat{DCE}+\hat{ECM}+\hat{BCM}}$ γίνεται σύμφωνα με τα παραπάνω

$\displaystyle{\hat{ECM}+\hat{DAE}=\hat{DCE}+\hat{ECM}+\hat{BCM}\Leftrightarrow \hat{DAE}=\hat{DCE}+\hat{BCM}}$ .

Όμως $\displaystyle{\hat{DAE}=2\hat{DCE}}$ ως επίκεντρη και εγγεγραμμένη στον κύκλο $\displaystyle{c_{1}}$ που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Άρα η παραπάνω ισότητα γράφεται $\displaystyle{2\hat{DCE}=\hat{DCE}+\hat{BCM}\Leftrightarrow \hat{DCE}=\hat{BCM} \ \bf \color{red} (1)}$ .

Τώρα έχουμε $\displaystyle{\hat{BEM}=180-\hat{AEB}-\hat{AED}=90-\hat{AED}=90-\left(90-\frac{\hat{DAE}}{2}\right)=\frac{\hat{DAE}}{2}=\hat{DCE}\overset{\bf \color{red} (1)}=\hat{BCM}}$ άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{BCFM}$ είναι εγγράψιμο όπως θέλαμε.

Υ.Γ. Μου φάνηκε πολύ απλούστερη από την επίσημη.Αν είναι λανθασμένη λοιπόν,ενημερώστε με για να την αποσύρω.

Αρχιμήδης 6 · #47

Πρόβλημα 3/μικρών

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα

$x^3=\frac{z}{y}-\frac{2y}{z}, y^3=\frac{x}{z}-\frac{2z}{x}, z^3=\frac{y}{x}-\frac{2x}{y}$

Προφανώς (x,y,z,z^2-2y^2,x^2-2z^2,y^2-2x^2)

μη μηδενικοί.

x^3yz=z^2-2y^2

Διαιρώ ανά δυο τις εξισώσεις και τελικά μετά τις πράξεις θα έχω,

x^4-2x^2z^2=y^2z^2-2y^4

Ας τις προσθέσουμε και τελικά ...

x^4+y^4+z^4=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2

, (

)

και τελικά (x,y,z)=(-1,-1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)

Αρχιμήδης 6 · #48

Πρόβλημα 2 Μικρών

p(p+m)+p=(m+1)^3

,

θετικός ακέραιος ,

πρώτος.

δεν είναι δεκτή

m+1=p

,

Αρχιμήδης 6 · #49

Πρόβλημα 2
Βρείτε τις τιμές του ακέραιου

για τις οποίες ο αριθμός $A=\dfrac{8n-25}{n+5}$ ισούται με τον κύβο ρητού αριθμού.

$\dfrac{8n-25}{n+5}=\dfrac{a^3}{b^3}$ (a,b)=1

$\dfrac{8(n+5)-65}{n+5}=\dfrac{a^3}{b^3}$

(8b^3-a^3)(n+5)=65b^3

επειδή

τότε

άρα

$(8b^3-a^3)*\dfrac{n+5}{b^3}=13*5$

Γινόμενο ακεραίων που μας δίνει αποτέλεσμα 13*5

αν πάρουμε τις περιπτώσεις τελικά

8b^3-a^3=13*5

,

άρα

και τελικά n=3

Ευχαριστώ τον mathfinder που με ενημέρωσε για κάποιο τυπογραφικό σφάλμα που είχα.

Ιστοσελίδα · #50

kostas_zervos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2014 2:28 pm
Πρόβλημα 1

Βρείτε όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την ισότητα για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

$(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2)\iff$

$\iff (x-2)(x-4)P(x)=x(x+2)P(x-2)$

Για έχουμε , για έχουμε , για έχουμε .

Άρα .

Τότε , άρα

$(x-2)(x-4)P(x)=x(x+2)P(x-2)\iff$

$\iff (x-2)(x-4)x(x+2)(x-2)Q(x)=x(x+2)(x-2)x(x-4)Q(x-2)$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ , επομένως

, άρα , δηλαδή $Q(x)=x\Pi(x)$ και $Q(x-2)=(x-2)\Pi(x-2)$ .

Άρα $(x-2)Q(x)=xQ(x-2)\iff (x-2)x\Pi(x)=x(x-2)\Pi(x-2)$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ , επομένως

$\Pi(x)=\Pi(x-2)$ .

Τότε όμως $\Pi(n)=\Pi(n-2)$ για κάθε $n\in\Bbb{N}$ , δηλαδή το $\Pi(x)$ είναι σταθερό , έστω $\Pi(x)=a$ , άρα

$P(x)=x(x+2)(x-2)Q(x)=P(x)=x(x+2)(x-2)x\Pi(x)=ax^2(x+2)(x-2)$ που επαληθεύει.

Να επισημάνουμε εδώ, για τους μαθητές, ότι (x-2)Q(x)=xQ(x-2)

προκύπτει διότι
(x-2)(x-4)x(x+2)(x-2)Q(x)=x(x+2)(x-2)x(x-4)Q(x-2)

για κάθε $x\in\Bbb{R} \Leftrightarrow$
$(x-2)(x-4)x(x+2)(x-2)Q(x)-x(x+2)(x-2)x(x-4)Q(x-2)=0 \forallo x \in \Bbb{R} \Leftrightarrow$
$(x-2)(x-4)x(x+2) ( (x-2)Q(x)-xQ(x-2))=0 \forallo x \in \Bbb{R} \Leftrightarrow$
και επειδή το

δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, έπεται ότι το
(x-2)Q(x)-xQ(x-2)

θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

maths_b · #51

ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ.

ΜΙΑ ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ 3 ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ.Λύνοντας τος σταμάτησα στη μορφη ν=206k. Κοιτώντας στις λύσεις της εμε βλέπω πως η λυση συνεχίζεται. Θα μπορούσε να μου εξήγησε κανεις γιατι συμβαίνει αυτο ;

maths_b · #52

ΚΑΛΗΜΕΡΑ.

Μαζί με την προηγούμενη ερώτηση μου, θα ήθελα να ρωτήσω τι ειναι το εκφυλισμένο εξάγωνο και πώς συνδέεται με το θεώρημα Pascal.Δηλαδη πώς πρακτικά μπορώ σε μια κωνική τομή(εμένα με ενδιαφέρει ο κύκλος) να εντοπίσω το εκφυλισμενο εξάγωνο.

Σας ευχαριστώ και ελπίζω να απαντήσετε και στις δύο ερωτήσεις μου.

maths_b · #53

Καλησπέρα.

Θα μπορούσατε να μου απαντήσετε στις ερωτήσεις μου:

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2013-2014

Μέλη σε σύνδεση