Εξισώσεις στους ακεραίους

Γιώργος Απόκης · #41

22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση (x-y)^2(y^2-x)=4x^2y

23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x^3+y^3+z^3=2

έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.

#42

Αρχιμήδης 6 έγραψε:- 21 )

Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .

Γιώργος Απόκης έγραψε:22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση

Είναι η 10.

Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.

$(x,y,z)= (6k^{3}+1,-6k^{3}+1,-6k^{2}$
Ενδιαφέρουσα σημείωση: http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm

24)
$\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}$

25)
$\displaystyle{a^{(b^c)}= (b^a)^c , \ a,b,c \in \Bbb{N}^*}$

26)
$x^x + y^y + z^z = 3xyz, \ x,y,z\in \Bbb{N}$

Αρχιμήδης 6 · #43

Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για a=1

,

δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης

#44

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για , δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης

Έχεις δίκιο Δημήτρη. Το διόρθωσα. Θενκς!

Αρχιμήδης 6 · #45

Για την ιστορία η εξίσωση μου κατασκευάστηκε απο την απλή σκέψη...
Αν a^2-b^2=x

,

τότε...

( Y.Γ Έίπα να κοιτάξω το βιβλίο του Κύριου Στεργίου και να φτίαξω μια άσκηση και η παραπάνω βρίσκεται στο βιβλίο << ολυπιάδες μαθηματικών Α' λυκείου >> του Μπάμπη Στεργίου στο κεφάλαιο για τις ταυτότητες Άσκηση 2.107 σελ 64 ).

Αρχιμήδης 6 · #46

socrates έγραψε:18)
$(x^{2}+2)(y^{2}+3)(z^{2}+4)=60xyz , \ x,y,z \in \Bbb{N}.$

Aν

τότε

και βλέπουμε ότι η εξίσωση σε αυτην την περίπτωση δεν έχει λύσεις και ότι x,y,z<5

.
Μοναδικές λύσεις οι παρακάτω.
(x,y,z)=(1,1,1),(1,1,4),(2,1,1),(2,1,4)

.

spiros filippas · #47

socrates έγραψε:26)
$x^x + y^y + z^z = 3xyz, \ x,y,z\in \Bbb{N}$

Μια προφανής λύση είναι η (3,3,3)

Yποθέτουμε ότι ένας είναι ίσος με

,έστω ο

και οι άλλοι διάφοροι του

.

Aν

έχουμε: $3xyz=9yz=x^x+y^y+z^z=3^3+y^y+z^z>3^3+y^3+z^3\geq 3\times 3yz=9yz$ απο ΑΜ-ΓΜ , άτοπο.

Αν ένας από τους y,z,

είναι μεγαλύτερος του

και ο άλλος μικρότερος του

εύκολα βλέπουμε ότι η δοθείσα δεν έχει λύση.

Αν δύο από τους x,y,z

είναι ίσοι με

πάλι εύκολα βλέπουμε ότι πάλι η εξίσωση δεν έχει λύσεις (εκτός από την 3,3,3)

Εστω ότι είναι όλοι διάφοροι του

Aν

έχουμε $x^x+y^y+z^z>x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$ αδύνατο.

Αν ένας είναι μικρότερος του

,ας πούμε ο

,καί οι άλλοι δύο μεγαλύτεροι του θα είναι:

$x^x+y^y+z^z>x^x+y^3+z^3\geq x^x+yz(y+z)\geq x^x+8yz>3xyz$ πάλι άτοπο.

Αν ένας είναι μεγαλύτερος του

,έστω ο

τότε διακρίνοντας τις περιπτώσεις x=1,y=1

ή

πάλι βλέπουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Τέλος, αν είναι όλοι μικρότεροι του

ευκολα βρίσκουμε τις λύσεις (1,1,1)

και

Συνοψίζοντας λύσεις είναι oi τριάδες $(x,y,z)=(3,3,3) \dot{~\eta}~(1,1,1)~\dot{\eta }~(1,1,2)$ και τα κυκλικά

Αρχιμήδης 6 · #48

socrates έγραψε: 25)
$\displaystyle{a^{(b^c)}= (b^a)^c , \ a,b,c \in \Bbb{N}^*}$

${a^{b^{c}}=b^{ca}$
Λήμμα .
Αν a^x=b^y

΄τότε υπάρχουν φυσικοί z,k,l

ώστε

,

Βάζοντας όπου a,b

στην αρχική εξίσωση θα καταλήξουμε στην ισότητα...
$kz^{lc}=z^{k}lc$ και διακρίνοντας περιπτώσεις θα έχουμε...
- Αν k>lc

΄τότε

-Αν

τότε

-Αν

τότε $(a,b,c)=(z^{lc},z^l,c)=(b^c,b,c)$

Αρχιμήδης 6 · #49

socrates έγραψε: 24)
$\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}$

$\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}$
Xωρίς βλάβη της γενικότητας ορίζουμε μια διάταξη στο σύνολο των φυσικών των μεταβλητών k,l,m

.
Έστω ότι $k\le l\le m$ . Προφανώς θα ισχύει ότι $n\le k$ .
Για ευκολία θέτω n!=x

,

.
Μετασχηματίζοντας την εξίσωση σε μεταβλητές x,y,z,w

΄και κάνοντας τις πράξεις θα καταλήξουμε στην παρακάτω εξίσωση !
$1+\displaystyle{\frac{1}{w}}=z(y-1)$
Εδώ βλέπουμε ότι αφού οι $x,y,z,w \ge 1$ πρέπει πέρνουμε σαν λύσεις (y,z,w)=(3,1,1),(2,2,1)

Έτσι πέρνουμε σαν μοναδική λύση τελικά την τετράδα (k,l,m,n)=(3,3,3,2)

Πράγματι ισχύει γιατί
$\displaystyle{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}}$

dimitris.ligonis · #50

Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.

$x^3+y^3+z^3=2\Leftrightarrow$
$x+y+z\equiv -1 (mod 3) \Rightarrow x+y+z+1=3k$

είναι σωστός ο συλλογισμός μου?

#51

Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:
27) x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3

28) $x^n+y^n=z^{n-1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}$

29) $x^n+y^n=z^{n+1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}$

30) $x^4+y^4+z^4=2002^t, \ x,y,z,t \in \Bbb{N}$

31) x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=3

32) $x^3+y^3+1=z^3, \ x,y,z \in \Bbb{N}.$

Αρχιμήδης 6 · #52

socrates έγραψε:31)

Οι λύσεις της εξίσωσης x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=3

είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους x,y,z

. Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...
x^2+(x+1)^2+(x+2)^2-x(x+1)-x(x+2)-(x+1)(x+2)=3

που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων x,y,z

παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις 28,29

εννοείς για κάθε

?

έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή

#53

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Για την Άσκηση .
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους . Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...
που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις εννοείς για κάθε ?

Ναι, το

είναι ένας δεδομένος φυσικός αριθμός!

Αρχιμήδης 6 · #54

socrates έγραψε: 27)

Άπειρες λύσεις π.χ (x,y,z)=(2t^2+1,t(2t^2+1),-t(2t^2+1))

έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή

#55

#56

socrates έγραψε:Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:

28) $x^n+y^n=z^{n-1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}$

29) $x^n+y^n=z^{n+1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}$

30) $x^4+y^4+z^4=2002^t, \ x,y,z,t \in \Bbb{N}$

28) Aν

τότε η εξίσωση γίνεται x+y=1

η οποία έχει άπειρες ακέραιες λύσεις $(k,1-k),k\in\mathbb{Z}.$

Αν $n\geq 2$ τότε $(2^{n-2})^n+(2^{n-2})^n=(2^{n-1})^{n-1}$ από όπου προκύπτει ότι $(k^{n-1}2^{n-2})^n+(k^{n-1}2^{n-2})^n=(k^n2^{n-1})^{n-1}$ για κάθε $k\in\mathbb{Z}.$

29) Από την ισότητα $2^n+2^n=2^{n+1}$ προκύπτει ότι $(2k^{n+1})^n+(2k^{n+1})^n=(2k^n)^{n+1}$ για κάθε $k\in\mathbb{Z}.$

30) Αν είχαμε ακέραιους k,m,n

ώστε

τότε $(2002^rk)^4+(2002^rm)^4+(2002^rn)^4=2002^{4r+1}$ για κάθε $r\in\mathbb{N}.$

Υπολογίζοντας μερικές τέταρτες δυνάμεις βρίσκουμε 6^4+5^4+3^4=2002.

Αρχιμήδης 6 · #57

Οπότε μας μένει η εξίσωση

.
Edit : Ωραίες οι λύσεις σας Κύριε Μαραγκουδάκη!

Αρχιμήδης 6 · #58

Το βρήκα....
x^3+(-1)^3+1=x^3

Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...

Αρχιμήδης 6 · #59

Να εξεταστεί αν η παρακάτω εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
2012x^2-2011y^2=1

#60

Να λυθούν

:

34) $2^q=1999+p^2, \ p,q$ πρώτοι

35) $x^2=y^5-4, \ x,y \in \Bbb{Z}$

36) $(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3, \ x,y\in\mathbb{Z}$

37) $x^4+x^2=7^zy^2, \ x,y,z \in \Bbb{Z}$

38) $x^3+7=y^2, \ x,y \in \Bbb{N}$

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
Το βρήκα....

Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...

Οκ, για τους ακέραιους... Αν θέλουμε φυσικούς τότε μια οικογένεια είναι (-1 + 9m^3,9m^4 - 3m,9m^4)

(http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm, http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=23&t=248)

Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση