Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

S.E.Louridas · #361

gbaloglou έγραψε: ...Τι σημαίνουν τα παραπάνω; Ότι εξακολουθεί να μας διαφεύγει το βέλτιστο άνω φράγμα των μέτρων των ριζών των τριτοβαθμίων μιγαδικών πολυωνύμων του Β3. Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas έγραψε:Φίλε Γιώργο, θά ήθελα να καταθέσω μία θεωρητική διαπραγμάτευση που πιστεύω ότι απαντά:
Σε κάθε μία από τις άπειρες τριάδες των μιγάδων (με την ιδιότητα που δίνει για αυτές το θέμα, να ανήκουν δηλαδή οι εικόνες τους στο συγκεκριμένο σημειοσύνολο-κύκλο), αντιστοιχίζονται οι ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το σύνολο των μέτρων των ριζών αυτών για όλες τις τριάδες είναι φραγμένο άνω και αυτό επειδή:
Αν τυχούσα απο αυτές ρίζα τότε
$\left| {v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right| = 0 \Rightarrow \left| v \right|^3 - \left| {a_2 } \right|\left| v \right|^2 - \left| {a_1 } \right|\left| v \right| - \left| {a_0 } \right| \leqslant 0\Rightarrow$ $\left| v \right|^3 -3\left| v \right|^2 -3\left| v \right| -3 \leqslant 0,$
οπότε έχουμε για τον τυχόντα και μετά από κάποιες πράξεις: $\left( {\left| v \right| - t} \right)\left( {\left| v \right|^2 + \left( {t - 3} \right)\left| v \right| + t^2 - 3t - 3} \right) \leqslant - t^3 + 3t^2 + 3t + 3$ (*).
Από την σχέση αυτή για π.χ. προκύπτει ότι .
Αν τώρα υπήρχε (για το σύνολο των μέτρων ) βέλτιστο άνω φράγμα θα είχαμε για την τυχούσα ρίζα και το βέλτιστο αυτό ,
$\displaystyle{\left| v \right| < k \Rightarrow \left| v \right| < \frac{{\left| v \right| + k}} {2} < k...}$

(*) $\left| v \right|^3 - 3\left| v \right|^2 -3\left| v \right| - 3\leqslant 0 \Rightarrow$ $\left| v \right|^3 - t^3 - 3\left( {\left| v \right|^2 - t^2 } \right) - 3\left( {\left| v \right| - t} \right) \leqslant\ - t^3 + 3t^2 + 3t + 3$ και βέβαια ακολουθούν oι αναλύσεις των διωνυμικών διαφορών.

Απλά μετά από αυτό τον διάλογο θεωρώ ότι το «κυνήγι» του βέλτιστου άνω φράγματος έχει μόνο «προσεγγιστικό» αλλά και τεχνικό ενδιαφέρον, αφού βέλτιστο άνω φράγμα (αλλά και κάτω-παρόμοια αντιμετώπιση) δεν υφίσταται.

#362

S.E.Louridas έγραψε:Απλά μετά από αυτό τον διάλογο θεωρώ ότι το «κυνήγι» του βέλτιστου άνω φράγματος έχει μόνο «προσεγγιστικό» αλλά και τεχνικό ενδιαφέρον, αφού βέλτιστο άνω φράγμα (αλλά και κάτω-παρόμοια αντιμετώπιση) δεν υφίσταται.

Σωτήρη όντως η περαιτέρω συζήτηση ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια, αλλά μάλλον υφίστανται βέλτιστα (άνω και κάτω) φράγματα: πιστεύω ότι το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο μιγαδικών ριζών πολυωνύμου αποτελεί συνεχή συνάρτηση των συντελεστών a_2, a_1, a_0,

ορισμένη στην περίπτωση μας στο συμπαγές σύνολο D^3

, όπου

ο κύκλος

.

[Το βέλτιστο άνω φράγμα στην περίπτωση μας μπορεί να είναι ακόμη και μικρότερο του

-- το εικάζω αυτό μέχρις αποδείξεως του εναντίου, μέχρι δηλαδή να μας δώσει κάποιος παράδειγμα μιγαδικού πολυωνύμου z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

, όπου

, με μία τουλάχιστον ρίζα

με $|v|\geq 3$ .]

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #363

Βέβαια και αν δεν μου διαφεύγει κάτι, τέτοια πολυώνυμα υπάρχουν άπειρα με $1\leqslant |a_i|\leqslant 3$ , με το σύνολο (1,3)

να είναι μη αριθμήσιμο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και μιλάμε πλέον για μελέτη εντός του συνόλου

των ριζών όλων των πολυωνύμων αυτών, όπου υπάρχει ένα τουλάχιστον ευρύτερο ανοικτό διάστημα ας πούμε το $(\frac{1}{4},4)$ στο οποίο ανήκουν αυτές οι ρίζες.
Σε αυτό το σύνολο

αναζητήθηκε το βέλτιστο άνω (είτε κάτω) φράγμα, Καταθέτοντας πως θεωρώ ότι δεν προσδιορίζεται βέλτιστο άνω (είτε κάτω) φράγμα.

S.E.Louridas έγραψε: Αν τυχούσα απο αυτές ρίζα τότε
$\left| {v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right| = 0 \Rightarrow \left| v \right|^3 - \left| {a_2 } \right|\left| v \right|^2 - \left| {a_1 } \right|\left| v \right| - \left| {a_0 } \right| \leqslant 0\Rightarrow$ $\left| v \right|^3 -3\left| v \right|^2 -3\left| v \right| -3 \leqslant 0,$
οπότε έχουμε για τον τυχόντα και μετά από κάποιες πράξεις: $\left( {\left| v \right| - t} \right)\left( {\left| v \right|^2 + \left( {t - 3} \right)\left| v \right| + t^2 - 3t - 3} \right) \leqslant - t^3 + 3t^2 + 3t + 3$ (*).
Από την σχέση αυτή για π.χ. προκύπτει ότι .
Αν τώρα υπήρχε (για το σύνολο των μέτρων ) βέλτιστο άνω φράγμα θα είχαμε για την τυχούσα ρίζα και το βέλτιστο αυτό ,
$\displaystyle{\left| v \right| < k \Rightarrow \left| v \right| < \frac{{\left| v \right| + k}} {2} < k...}$

edit: Τοποθέτηση της εντός

παρέμβασης.

dimandres · #364

gbaloglou έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Απλά μετά από αυτό τον διάλογο θεωρώ ότι το «κυνήγι» του βέλτιστου άνω φράγματος έχει μόνο «προσεγγιστικό» αλλά και τεχνικό ενδιαφέρον, αφού βέλτιστο άνω φράγμα (αλλά και κάτω-παρόμοια αντιμετώπιση) δεν υφίσταται.
Σωτήρη όντως η περαιτέρω συζήτηση ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια, αλλά μάλλον υφίστανται βέλτιστα (άνω και κάτω) φράγματα: πιστεύω ότι το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο μιγαδικών ριζών πολυωνύμου αποτελεί συνεχή συνάρτηση των συντελεστών ορισμένη στην περίπτωση μας στο συμπαγές σύνολο , όπου ο κύκλος .

[Το βέλτιστο άνω φράγμα στην περίπτωση μας μπορεί να είναι ακόμη και μικρότερο του -- το εικάζω αυτό μέχρις αποδείξεως του εναντίου, μέχρι δηλαδή να μας δώσει κάποιος παράδειγμα μιγαδικού πολυωνύμου , όπου , με μία τουλάχιστον ρίζα με $|v|\geq 3$ .]

Γιώργος Μπαλόγλου

Για $a_{0}=3=a_{2}, a_{1}=1$ η εξίσωση γίνεται $v^{3}+3v^{2}+v+3=0\Leftrightarrow (v^{2}+1)(v+3)=0\Leftrightarrow v_{1}=-3,v_{2}=-i,v_{3}=i$ και
$|v_{1}|=3$
Αυτό φαίνεται και απο το παρακάτω σχήμα το οποίο προέρχεται απο μια διαμόρφωση που έκανα του προγράμματος που ανέβασε ο lafkasd εδώ viewtopic.php?f=46&t=37283&start=360#p174034 .
Άν παίξει κάποιος με τα a0, a1, a2 θα δεί ότι το |v| δεν φαίνεται να είναι πάνω απο 3 (εκτός και άν έχω κάνει κάποιο λάθος στην υλοποίηση)
Όποιος θέλει να παίξει με αυτό το πρόγραμμα θα το βρεί εδώhttp://users.sch.gr/dimandres/Kat_B3.cdf
Για να "τρεξει" χρειάζεται το mathematica ή να κατεβάσετε (ελεύθερα) το wolphram cdf player απο εδώ http://www.wolfram.com/cdf-player/

#365

dimandres έγραψε:Άν παίξει κάποιος με τα a0, a1, a2 θα δεί ότι το |v| δεν φαίνεται να είναι πάνω απο 3 (εκτός και άν έχω κάνει κάποιο λάθος στην υλοποίηση)

Ισοδύναμη εικασία (μέσω της z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=(z-v_1)(z-v_2)(z-v_3)

):

Αν

τότε $|v_1|\leq 3$ , $|v_2|\leq 3$ , $|v_3|\leq 3$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

ykerasar · #366

Συνάδελφοι, παρακολουθώ με μεγάλη προσοχή τον εξελισσόμενο διάλογο στην ιστοσελίδα μας και κάθε φορά νοιώθω να βγαίνω πιο "σοφός", τόσο από μαθηματική άποψη όσο και από άποψη εκπαιδευτικού προβληματισμού. Μ’ αυτή την έννοια ευχαριστώ όσους έλαβαν μέρος σ’ αυτό το διάλογο, γι’ αυτά που μου έδωσαν. Από τη δημοσιευμένη ύλη, απομονώνω την παρακάτω περικοπή (από το δημοσίευμα ενός σημαντικού συναδέλφου):

«….ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΣΑ να λύσω το β3 μέσα στο προκαθορισμένο χρόνο
ΔΕΝ είμαι βλάκας, ΔΕΝ είμαι τεμπέλης
Απροετοίμαστος στα μαθηματικά;
Διδάσκω μαθηματικά από το 1983 -2006 σε φροντιστήρια ,κεντρικά των
Αθηνών(πχ. Θετικό) και σε ιδιαίτερα, προετοιμάζοντας μαθητές για εισαγωγή τους στο πανεπιστήμιο με Δέσμες-κατευθύνσεις….»

Η περικοπή αυτή, με άλλα λόγια, μας παραπέμπει στο «τις πταίει;» του Χαρίλαου Τρικούπη, μόνο που τώρα, αντί της χρεοκοπίας της ελληνικής οικονομίας στην οποία αναφερόταν ο Τρικούπης (σας θυμίζει κάτι σημερινό;), ο συγγραφέας της περικοπής αναφέρεται στη χρεοκοπία κάποιων (ή και όλων των) παραμέτρων που συνιστούν το εκπαιδευτικό μας σύστημα. Γιατί όμως συμβαίνει αυτό; Γιατί, η UNESCO, στην Διακήρυξη των Δικαιωμάτων αναφέρει ρητά σαν ανθρώπινο δικαίωμα την κατοχή της μητρικής Γλώσσας και της Μαθηματικής σκέψης;
Κατά τη γνώμη μου, για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, πρώτα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα: "για ποιο λόγο διδάσκουμε τα Μαθηματικά" στα παιδιά, από την Α’ Δημοτικού μέχρι και τη Γ’ Λυκείου; Υπάρχουν τέσσερες εκδοχές
▪ πρώτη εκδοχή: γιατί "ακούμε" πως τα Μαθηματικά "είναι απαραίτητα", γιατί “τα βρήκαμε απ' τους πατεράδες μας” γιατί, επιπλέον, δικαιολογείται η ύπαρξη θέσεων μαθηματικών στα σχολεία
▪ δεύτερη εκδοχή: για να ανιχνεύσουμε “μαθηματικά ταλέντα” και να τα κάνουμε μαθηματικούς
▪ τρίτη εκδοχή: για να αντιμετωπίσουν τα παιδιά τις Πανελλαδικές εξετάσεις
▪ τέταρτη εκδοχή:
α) μέσω των Μαθηματικών τα παιδιά μπορούν να καλλιεργήσου τις παρακάτω μορφές της Λογικής Νόησης (με την απαραίτητη προϋπόθεση πως περνούν από την καθημερινή εμπειρία στη θεωρία και αντίστροφα): i. «Έννοια», ii. «Κρίση», iii. «Συλλογισμός», iv. «Υπόθεση», v. «Ιδέα», vi. «Θεωρία», vii. «Ιδέα και Φαντασία», viii. «Ανάλυση», ix. «Σύνθεση», x. «Επαγωγή», xi. «Παραγωγή» (ή «παραγωγική απόδειξη»), xii. «Συγκεκριμένο»–«Αφηρημένο», «Αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο»
β) τα παιδιά μαθαίνουν πως η ίδια η μαθηματική διαδικασία προσφέρει αισθητική ικανοποίηση κι ακόμα πως τα Μαθηματικά έχουν πλατιά εφαρμογή στις Καλές Τέχνες, την αρχιτεκτονική και τη Λογοτεχνία
γ) Τα παιδιά αντιμετωπίζουν ένα κόσμο που διαμορφώνεται από ολοένα και πιο σύνθετα, δυναμικά και ισχυρά συστήματα πληροφοριών και ιδεών. «Ως μελλοντικά μέλη του εργατικού δυναμικού οι μαθητές και οι μαθήτριες θα χρειαστεί να είναι ικανοί να ερμηνεύουν και να εξηγούν δομικά σύνθετα συστήματα, να σκέφτονται με μαθηματικά ποικίλους τρόπους και να χρησιμοποιούν πολύπλοκους εξοπλισμούς και μέσα» [1]
δ) με όχημα τα Μαθηματικά (μεταξύ άλλων), μέσω των άλλων επιστημών, τα παιδιά γνωρίζουν τη Φύση και την κοινωνία και τις μετασχηματίζουν επιστημονικά προς όφελος της ανθρωπότητας

Προσωπικά ενστερνίζομαι την "τέταρτη εκδοχή". Εδώ τίθεται το ερώτημα: ικανοποιούνται οι προβλέψεις της "τέταρτης εκδοχής" στο δικό μας εκπαιδευτικό σύστημα; Προσωπικά απαντώ κατηγορηματικά˙ Όχι! (το "γιατί", είναι αντικείμενο ευρύτερης εργασίας μου, η οποία δεν εμπίπτει στη θεματολογία της Ιστοσελίδας μας).
Σχετικά με το ερώτημα "γιατί συμβαίνουν όλα αυτά με τη θεματοδοσία", απάντησα (23/5/2013), όπου μεταξύ των άλλων έγραφα:

«οι Πανελλαδικές, η ύλη και το απόστημα της θεματοδοσίας, είναι καθαρά πολιτικό πρόβλημα στα χέρια της εκάστοτε κυβέρνησης, προκειμένου να οδηγήσει τα εκπαιδευτικά πράγματα προς την επιδιωκόμενη κατεύθυνση. Για ποιο λόγο κάθε χρόνο τα θέματα είναι ασύμμετρα προς τον σκοπό για τον οποίο προορίζονται ή κάποια λαθεμένα; Είναι πολύ βολικό κάθε φορά να φωνάζουμε και να τα βάζουμε με τους "κακούς" θεματοδότες. Είναι η άριστη συνταγή για εκτόνωση και του χρόνου πάλι τα ίδια»

Κλείνοντας, θα πρόσθετα: είναι ένας δοκιμασμένος τρόπος απόσπασης της προσοχής μας από την αιτία που τα γεννά, στα επιφαινόμενα. Οι θεματοδότες το κάνουν επίτηδες; Κατηγορηματικά "Όχι". Γιατί δεν λαμβάνονται μέτρα; Δεν λαμβάνονται γιατί αυτό εξυπηρετεί την πορεία προς τον στόχο, που δεν είναι άλλος από το επικείμενο "Σχολείο της Αγοράς"….

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης
[1] http://www.google.gr/#output=search&scl ... 24&bih=509

#367

gbaloglou έγραψε:
dimandres έγραψε:Άν παίξει κάποιος με τα a0, a1, a2 θα δεί ότι το |v| δεν φαίνεται να είναι πάνω απο 3 (εκτός και άν έχω κάνει κάποιο λάθος στην υλοποίηση)
Ισοδύναμη εικασία (μέσω της ):

Αν τότε $|v_1|\leq 3$ , $|v_2|\leq 3$ , $|v_3|\leq 3$ .

Επιστρέφω, με ... παρ' ολίγον απόδειξη της παραπάνω εικασίας, στην ισοδύναμη αρχική μορφή της (Β3+):

Αν v^3+a_2v^2+a_1v+a_0=0

με

τότε $|v|\leq 3$ .

[Παρουσιάζω παρακάτω την στρατηγική μου ... υποκρινόμενος (!) ότι αγνοώ την ανεπιτυχή της έκβαση ... και δείχνοντας που και πως ακριβώς αποτυγχάνει... (Έτσι άλλωστε έγιναν τα πράγματα, νόμιζα ότι έχω απόδειξη ... σχεδόν μέχρι τέλους!) Ας ρίξουν μια ματιά ακόμη και όσοι (υποψήφιοι κυρίως) δεν θέλουν να θυμούνται το Β3, η προσέγγιση μου δεν νομίζω ότι ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια.]

O

είναι ρίζα του z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

, ισχύει επομένως η z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=(z-v)(z^2+(a_2+v)z+(a_1+a_2v+v^2))

. Αν

,

είναι οι άλλες δύο ρίζες του z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

, οι ρίζες δηλαδή του z^2+(a_2+v)z+(a_1+a_2v+v^2)

, ισχύει προφανώς η uw=a_1+a_2v+v^2

. Υποθέτοντας |v|>3

, ακριβέστερα $|v|\geq 3$ , συμπεραίνουμε -- λόγω του λήμματος που παραθέτω στο τέλος* -- ότι

$|uw|=|a_1+a_2v+v^2|=|(v^2+2v+2)+(a_2-2)v+(a_1-2)|\geq$

$\geq |v^2+2v+2|-|(a_2-2)v+(a_1-2)|\geq |v^2+2v+2|-(|(a_2-2)v|+|(a_1-2)|)=$

$=|v^2+2v+2|-|a_2-2|\cdot |v|-|a_1-2|=|v^2+2v+2|-|v|-1\geq 2-1=1.$

Ως εδώ υποθέσαμε $|v|\geq 3$ , και δεν υπάρχει πρόβλημα. Αν όμως υποθέσουμε |v|>3

τότε έχουμε άτοπο: πράγματι από τις uvw=a_0

και

προκύπτει η $|v|\cdot |uw|=|a_0|\leq 3$ , άρα |uw|<1

(αντίθετα προς την $|uw|\geq 1$ που μόλις αποδείξαμε).

*ΛΗΜΜΑ: αν $|v|\geq 3$ τότε $|v^2+2v+2|-|v|\geq 2$ .

ΠΑΡ' ΟΛΙΓΟΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θέτουμε $v=r(cos\gamma+isin\gamma)$ , όπου $r\geq 3$ και $0\leq \gamma\leq 2\pi$ , και παρατηρούμε, ύστερα από πράξεις, ότι

$|v^2+2v+2|-|v|=\sqrt{r^4+4r^2+4+4(cos\gamma)r^3+4(cos2\gamma)r^2+8(cos\gamma)r}-r$

Θέτοντας $f(\gamma)=r^4+4r^2+4+4(cos\gamma)r^3+4(cos2\gamma)r^2+8(cos\gamma)r$ λαμβάνουμε $f'(\gamma)=-4rsin\gamma(4rcos\gamma+r^2+2)$ , οπότε $f'(\gamma)=0$ αν και μόνον αν $cos\gamma=-\frac{r^2+2}{4r}$ (σημείο τοπικού ελαχίστου αν r^2+2<4r

) ή $\gamma =0$ (άκρα διαστήματος, σημεία ολικού μεγίστου) ή $\gamma=\pi$ (σημείο τοπικού μεγίστου). Αρκεί επομένως να δειχθεί η $f(\gamma)-r\geq 2$ για $\gamma=arccos(-\frac{r^2+2}{4r})$ ... και εδώ ... τελειώνουν όλα, καθώς για r=3

έχουμε $\gamma=arccos(-\frac{11}{12})\approx 2,7304548$ , $v\approx -2,75+1,198958i$ , και $|v^2+2v+2|-|v|\approx 1,94975<2$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ 14-6-13 9:20 μμ: η σωστή τιμή του

είναι (περίπου) -- 2.75+1,198958i

(χωρίς αυτό να αλλάζει τίποτε άλλο)

[Δεν προσπάθησα ακόμη να αξιοποιήσω τα παραπάνω για την εύρεση αντιπαραδείγματος στην αρχική μας εικασία (Β3+) -- όσοι πιστοί προσέλθετε...]

Γιώργος Μπαλόγλου

#368

gbaloglou έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
dimandres έγραψε:Άν παίξει κάποιος με τα a0, a1, a2 θα δεί ότι το |v| δεν φαίνεται να είναι πάνω απο 3 (εκτός και άν έχω κάνει κάποιο λάθος στην υλοποίηση)
Ισοδύναμη εικασία (μέσω της ):

Αν τότε $|v_1|\leq 3$ , $|v_2|\leq 3$ , $|v_3|\leq 3$ .
Επιστρέφω, με ... παρ' ολίγον απόδειξη της παραπάνω εικασίας, στην ισοδύναμη αρχική μορφή της (Β3+):

Αν με τότε $|v|\leq 3$ .

[Παρουσιάζω παρακάτω την στρατηγική μου ... υποκρινόμενος (!) ότι αγνοώ την ανεπιτυχή της έκβαση ... και δείχνοντας που και πως ακριβώς αποτυγχάνει... (Έτσι άλλωστε έγιναν τα πράγματα, νόμιζα ότι έχω απόδειξη ... σχεδόν μέχρι τέλους!) Ας ρίξουν μια ματιά ακόμη και όσοι (υποψήφιοι κυρίως) δεν θέλουν να θυμούνται το Β3, η προσέγγιση μου δεν νομίζω ότι ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια.]

O είναι ρίζα του , ισχύει επομένως η . Αν , είναι οι άλλες δύο ρίζες του , οι ρίζες δηλαδή του , ισχύει προφανώς η . Υποθέτοντας , ακριβέστερα $|v|\geq 3$ , συμπεραίνουμε -- λόγω του λήμματος που παραθέτω στο τέλος* -- ότι

$|uw|=|a_1+a_2v+v^2|=|(v^2+2v+2)+(a_2-2)v+(a_1-2)|\geq$

$\geq |v^2+2v+2|-|(a_2-2)v+(a_1-2)|\geq |v^2+2v+2|-(|(a_2-2)v|+|(a_1-2)|)=$

$=|v^2+2v+2|-|a_2-2|\cdot |v|-|a_1-2|=|v^2+2v+2|-|v|-1\geq 2-1=1.$

Ως εδώ υποθέσαμε $|v|\geq 3$ , και δεν υπάρχει πρόβλημα. Αν όμως υποθέσουμε τότε έχουμε άτοπο: πράγματι από τις και προκύπτει η $|v|\cdot |uw|=|a_0|\leq 3$ , άρα (αντίθετα προς την $|uw|\geq 1$ που μόλις αποδείξαμε).

*ΛΗΜΜΑ: αν $|v|\geq 3$ τότε $|v^2+2v+2|-|v|\geq 2$ .

ΠΑΡ' ΟΛΙΓΟΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θέτουμε $v=r(cos\gamma+isin\gamma)$ , όπου $r\geq 3$ και $0\leq \gamma\leq 2\pi$ , και παρατηρούμε, ύστερα από πράξεις, ότι

$|v^2+2v+2|-|v|=\sqrt{r^4+4r^2+4+4(cos\gamma)r^3+4(cos2\gamma)r^2+8(cos\gamma)r}-r$

Θέτοντας $f(\gamma)=r^4+4r^2+4+4(cos\gamma)r^3+4(cos2\gamma)r^2+8(cos\gamma)r$ λαμβάνουμε $f'(\gamma)=-4rsin\gamma(4rcos\gamma+r^2+2)$ , οπότε $f'(\gamma)=0$ αν και μόνον αν $cos\gamma=-\frac{r^2+2}{4r}$ (σημείο τοπικού ελαχίστου αν ) ή $\gamma =0$ (άκρα διαστήματος, σημεία ολικού μεγίστου) ή $\gamma=\pi$ (σημείο τοπικού μεγίστου). Αρκεί επομένως να δειχθεί η $f(\gamma)-r\geq 2$ για $\gamma=arccos(-\frac{r^2+2}{4r})$ ... και εδώ ... τελειώνουν όλα, καθώς για έχουμε $\gamma=arccos(-\frac{11}{12})\approx 2,7304548$ , $v\approx -2,75+1,198958i$ , και $|v^2+2v+2|-|v|\approx 1,94975<2$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ 14-6-13 9:20 μμ: η σωστή τιμή του είναι (περίπου) -- (χωρίς αυτό να αλλάζει τίποτε άλλο)

[Δεν προσπάθησα ακόμη να αξιοποιήσω τα παραπάνω για την εύρεση αντιπαραδείγματος στην αρχική μας εικασία (Β3+) -- όσοι πιστοί προσέλθετε...]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα, αν υπάρχει, θα πρέπει να έχει μέτρο πολύ κοντά στο

, ακριβέστερα $3<|v|<\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10+8\sqrt{2}}}{2}\approx 3,0154$ . Αυτό προκύπτει θέτοντας $cos\gamma=-\displaystyle\frac{r^2+2}{4r}$ στην $|v^2+2v+2|-|v|=\sqrt{r^4+4r^2+4+4(cos\gamma)r^3+4(cos2\gamma)r^2+8(cos\gamma)r}-r$ , οπότε $|v^2+2v+2|-|v|=\displaystyle\frac{r^2-2}{\sqrt{2}}-r$ (ελάχιστη τιμή για κάθε

), και το άνω φράγμα μας προκύπτει τριωνυμικά από την ζητούμενη ως ανωτέρω $|v^2+2v+2|-|v|\geq 2$ .

ΠΡΟΣΘΗΚΗ 15-6-13 11:10 πμ: παρέλειψα εξ αρχής να αναφέρω ότι για $r\geq 2+\sqrt{2}$ , όπου η $cos\gamma=-\displaystyle\frac{r^2+2}{4r}$ δεν έχει νόημα, το τοπικό μέγιστο (της $f(\gamma )-r=|v^2+2v+2|-|v|$ ) στο $\gamma =\pi$ γίνεται τοπικό ελάχιστο ίσο προς $r^2-3r+2\geq 2$ .

[Ας αναφερθεί εδώ, χάριν πληρότητας, ότι ένα όχι τόσο σφιχτό άνω φράγμα, το $3/0,94975\approx 3,1587$ , προκύπτει και από τις $|v|\cdot |uw|=a_0\leq 3$ και $|uw|\geq |v^2+2v+2|-|v|-1\geq 0,94975$ .]

Θα μπορούσε να παρατηρήσει κανείς ότι η οριακή αποτυχία της $|v^2+2v+2|-|v|\geq 2$ δεν συνεπάγεται κατ' ανάγκην την αποτυχία της ασθενέστερης -- βλέπε παραπάνω -- ανισότητας $|a_1+a_2v+v^2|\geq 1$ , όπου a_1=2+cost_1+isint_1

και

2. Με οδηγό μου το v=-2,75+1,2i

, ίσο περίπου προς το -2,75+1,198958i

που εντοπίσαμε παραπάνω, και γραφική μελέτη (WolframAlpha) αρχικά της |(2+cost_2+isint_2)v+v^2|

(μεταβλητή t_2

) και στην συνέχεια της |(2+cost_1+isint_1)+(2+cos5,7+isin5,7)v+v^2|

έφτασα στο αντιπαράδειγμα t_1=2,1

: αν δηλαδή $a_1=2+cos2,1+isin2,1\approx 1,4952+0,8632i$ , $a_2=2+cos5,7+isin5,7\approx 2,8347-0,5506i$ , v=-2,75+1,2i

, τότε $|a_1+a_2v+v^2|\approx 0,9525<1$ .

Το παραπάνω αντιπαράδειγμα σβήνει κάθε ελπίδα για απόδειξη της αρχικής εικασίας (Β3+) με την συγκεκριμένη 'διαίρει και βασίλευε' στρατηγική, που μας έδωσε πάντως το εξαιρετικό άνω φράγμα 3,0154

. Στην αντίθετη κατεύθυνση, θα μπορούσαμε να το χρησιμοποιήσουμε πονηρά για αντιπαράδειγμα της ίδιας της αρχικής εικασίας, ελπίζοντας δηλαδή ότι το a_0=-a_1v-a_2v^2-v^3

θα βρίσκεται, για τις παραπάνω συγκεκριμένες τιμές των a_1

,

, αν όχι στον κύκλο |z-2|=1

, στον δίσκο $|z-2|\leq 1$ : αυτό δεν συμβαίνει, καθώς $a_0\approx -0,3433+2,8366i$ .

Παραμένει λοιπόν ζωντανή η εικασία $|v|\leq 3$ , είμαστε πολύ κοντά ( |v|<3,0154

), αλλά ... δεν έχω άλλες ιδέες...

Γιώργος Μπαλόγλου

#369

gbaloglou έγραψε:Παραμένει λοιπόν ζωντανή η εικασία $|v|\leq 3$ , είμαστε πολύ κοντά (), αλλά ... δεν έχω άλλες ιδέες...

Δείτε εδώ ... για τα τελευταία νέα!

Γιώργος Μπαλόγλου

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Μέλη σε σύνδεση