2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

#21

BAGGP93 έγραψε:ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[-\pi,\pi\right]\to \mathbb{R}$ από τη σχέση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 1\,\,\,\,\,,0\leq x\leq \pi\\ 0\,\,\,\,\,,-\pi\leq x<0 \end{cases}}$

Α. Να ορίσετε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}}$

...κάνοντας μια προσέγγιση πιστεύω ότι, με όλη την εκτίμηση για τον δημιουργό, προσπαθώντας να το δω διδακτικά, δεν βρήκα κάποια σύνδεση...ίσως να μη βλέπω κάτι...

Α. Περιγράφοντας τις σκέψεις μου…..

Πρώτα πρώτα η συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}}$

πρέπει να είναι συνεχής στο διάστημα $\left[ -\pi ,\pi \right]$ άρα και στο σημείο x=0

δηλαδή

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left| g(x)-f(x) \right|=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| g(x)-f(x) \right|$ ή

$\left| g(0)-0 \right|=\left| g(0)-1 \right|$ απ όπου αναγκαία $g(0)=\frac{1}{2}$ από την γραφική παράσταση της

: ΘΕΜΑ 3ο.jpg (6.1 KiB) Προβλήθηκε 1735 φορές

παρατήρησα ότι το χωρίο που ορίζεται από την ευθεία που ενώνει τα σημεία $A(\pi ,\,1),\,\,E(0,\,\,\frac{1}{2})$ και τον άξονα

{y}'y

έχει εμβαδό $\frac{\pi }{4}$ όπως και το χωρίο που ορίζεται από την ευθεία που ενώνει τα σημεία

$B(-\pi ,\,0),\,\,E(0,\,\,\frac{1}{2})$ και ο άξονα {y}'y

έχει εμβαδό $\frac{\pi }{4}$ έτσι βρίσκοντας την ευθεία

που εύκολα προσδιορίζεται και είναι η $y=\frac{1}{2\pi }x+\frac{1}{2}$ που διέρχεται από το σημείο

$E(0,\,\,\frac{1}{2})$ είναι μία συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ και (εύκολα) ικανοποιεί την ισότητα

$\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}}$ ή $\int\limits_{-\pi }^{0}{\left| g(x)-f(x) \right|}\text{d}x+\int\limits_{0}^{\pi }{\left| g(x)-f(x) \right|}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$ ή

$\int\limits_{-\pi }^{0}{\left| \frac{1}{2\pi }x+\frac{1}{2} \right|}\text{d}x+\int\limits_{0}^{\pi }{\left| \frac{1}{2\pi }x+\frac{1}{2}-1 \right|}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$

τώρα για την μοναδικότητα της ;;;; νομίζω ότι πρέπει να υπάρχουν άπειρες βλέποντας το γεωμετρικά…. περιμένω τον θεματοδότη

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

BAGGP93 · #22

Γεια σας κύριε Βασίλη.

Μια ακόμη που ικανοποιεί είναι η

$\displaystyle{g(x)=\begin{cases} \,\,\,\,\,0\,\,\,\,,x\leq 0\\ \,\,\, \dfrac{1}{\pi}\,\,x\,\,,0<x\leq \pi\\ \,\,\,\,1\,\,\,\,,x>\pi \end{cases}}$

Αυτό το ερώτημα προέκυψε ως εξής : Οι συνεχείς στον κύκλο είναι πυκνές ως προς τη νόρμα 1 στον $\displaystyle{L^1(S^1)}$

και είδα ότι μπορεί να γίνει ένα θέμα με ολοκληρώματα για Γ Λυκείου.

Αυτή η γεωμετρική ιδέα μου φάνηκε ωραία.

(Από το ορθογώνιο, παίρνεις τη διαγώνιο ώστε να προκύψει το μισό εμβαδόν (εμβαδόν τριγώνου τώρα)).

Γενικά, δεν είναι αναγκαία η συνθήκη $\displaystyle{g(0)=\dfrac{1}{2}}$ (φαίνεται από το παράδειγμα που έδωσα) αλλά μιας και μιλάμε για
Λύκειο, είναι.

Είμαι εκτός πλαισίων απ' ό,τι φαίνεται, συγγνώμη.

#23

nikos_el έγραψε:Μία ακόμα πρόταση (οριακά τρίτο θέμα... ίσως τέταρτο):
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνονται οι συναρτήσεις ορισμένες στο $\mathbb{R}$ και συνεχείς. Για τις συναρτήσεις αυτές ισχύουν:
$\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y),$ $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$
$\displaystyle f(x)=1+P(x)+xg(x),$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ , με $\displaystyle P(x)=2018x^{2017}+\displaystyle 2017x^{2016}+...+3x^2+2x,$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=1$
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'(x)=3f(x)$ , $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle f$ .
Αν $\displaystyle f(x)=e^{3x},$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ,
γ)
i) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να βρείτε την $\displaystyle f^{-1}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f(x)-3f^{-1}(x)=0$ είναι αδύνατη.
δ) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^{1}3\ln x dx}{e}<e^2-1$ .

...μία αντιμετώπιση....

α) Είναι ${f}'({{x}_{0}})=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}})f(h)-f({{x}_{0}})}{h}=f({{x}_{0}})\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(h)-1}{h}$

Τώρα από f(x)=1+P(x)+xg(x)

έχουμε ότι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(1+P(x)+xg(x))=1+P(0)$

και επειδή P(0)=0

είναι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1=f(0)$ (λόγω συνέχειας της

) και ακόμη από

$f(x)=1+P(x)+xg(x)\Leftrightarrow f(x)-1=P(x)+xg(x)$ και με $x\ne 0$ έχουμε ότι $\frac{f(x)-1}{x}=\frac{P(x)}{x}+g(x)$ και επειδή

$\frac{P(x)}{x}=2018{{x}^{2016}}+2017{{x}^{2015}}+...+3x+2$ το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{P(x)}{x}=2$ οπότε

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{P(x)}{x}+g(x) \right)=3$ , έτσι

${f}'({{x}_{0}})=f({{x}_{0}})\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(h)-1}{h}=3f({{x}_{0}})$ επομένως

$\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'(x)=3f(x)$ , $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ .

β) Από ${f}'(x)=3f(x)\Leftrightarrow {f}'(x)-3f(x)=0\Leftrightarrow$

${{e}^{-3x}}{f}'(x)-3{{e}^{-3x}}f(x)=0\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-3x}}f(x) \right)}^{\prime }}=0,\,x\in R$ και σύμφωνα με την Σ.Θ.Μ.Τ.

είναι ${{e}^{-3x}}f(x)=c\Leftrightarrow f(x)=c{{e}^{3x}}$ και αφού f(0)=1

προκύπτει ότι c=1

άρα $f(x)={{e}^{3x}},\,\,x\in R$

γ) i) Είναι με $y\in \mathbb{R}$ η εξίσωση $f(x)=y\Leftrightarrow {{e}^{3x}}=y\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y>0 \\ & 3x=\ln y \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y>0 \\ & x=\frac{1}{3}\ln y \\ \end{matrix} \right.$

και επειδή έχει μοναδική λύση για κάθε y>0

είναι αντιστρέψιμη με ${{f}^{-1}}(x)=\frac{1}{3}\ln x,\,x\in (0,+\infty )$

ii) Αν η εξίσωση $\displaystyle f(x)-3f^{-1}(x)=0$ έχει λύση κάποιο ${{x}_{0}}\in (0,\,\,+\infty )$ τότε θα ισχύει ότι

$f({{x}_{0}})-3{{f}^{-1}}({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f({{x}_{0}})=3{{f}^{-1}}({{x}_{0}})\Leftrightarrow {{e}^{{{x}_{0}}}}=\ln {{x}_{0}}$

που είναι αδύνατο αφού είναι από γνωστή εφαρμογή $\ln x\le x-1<x+1\le {{e}^{x}},\,\,\,x>0$

άρα η εξίσωση $\displaystyle f(x)-3f^{-1}(x)=0$ είναι αδύνατη.

δ) Αυτό νομίζω ότι είναι αρκετά εύκολο για τέτοιο ερώτημα μια και το

$\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{3}\ln xdx<0$ αφού $\ln x\le 0,\,\,\,x\in [\frac{1}{3},\,\,1]$ και ${{e}^{2}}-1>0$

μάλλον κάτι άλλο θα είχε στο μυαλό του ο δημιουργός…θα δείξει

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Μπαλός · #24

ΘΕΜΑ 5ο

Θα παραβώ ελαφρώς τους κανόνες της συζήτησης, καθώς το παρακάτω θέμα θα το πρότεινα ως Θέμα Πρώτο. Δεν ακολουθεί όσα έχουμε συνηθίσει..

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μία συνάρτηση

λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $g: [0,+ \infty) \rightarrow R$ , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+ \infty)$ .
Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)=x^{2}- \frac{1}{\sqrt{x}}+g(x)$ , να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να σημειώσετε με το γράμμα Σ ή Λ την καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις αν θεωρείτε πως είναι Σωστή ή Λανθασμένη αντίστοιχα.
i) $A_{f+g}=A_{g}$
ii) Η συνάρτηση f+g

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1,2]

iii) To $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x)-g(x))$ υπάρχει και ισούται με $- \infty$ .

δ) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $h:(0,+ \infty) \rightarrow R$ , με $h(x)=(f-g)(x)=x^{2}- \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
Βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της

.

Σημείωση
Δεν είναι ανάγκη να μπείτε σε αναλυτική λύση. Αρκούν οι σχολιασμοί. Θα παρακαλούσα κατά την εκτίμησή σας να κάνατε μοριοδότηση του παραπάνω θέματος. Ευχαριστώ.

2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Μέλη σε σύνδεση