Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Παρακάτω επισυνάπτω το διαγώνισμα που θα βάλω στην Γ' λυκείου με ύλη στο 1ο κεφάλαιο.
Θα δώσω αναλυτικά λύσεις μέσα στις επόμενες δύο εβδομάδες και όχι κατευθείαν για να ασχοληθούν όσα παιδιά θέλουν να ασχοληθούν.
Υ.Γ.1. Ιδέες στο ΘΕΜΑ Δ έχουν παρθεί από την συλλογή του Ρ. Μπόρη (RBORIS), καθώς και στο ΘΕΜΑ Γ από διαγώνισμα του Ν. Μαυρογιάννη (nsmavrogiannis), τους οποίους και ευχαριστώ θερμά!
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ.2. Προστέθηκε η συνέχεια της στο θέμα Γ.
Θα δώσω αναλυτικά λύσεις μέσα στις επόμενες δύο εβδομάδες και όχι κατευθείαν για να ασχοληθούν όσα παιδιά θέλουν να ασχοληθούν.
Υ.Γ.1. Ιδέες στο ΘΕΜΑ Δ έχουν παρθεί από την συλλογή του Ρ. Μπόρη (RBORIS), καθώς και στο ΘΕΜΑ Γ από διαγώνισμα του Ν. Μαυρογιάννη (nsmavrogiannis), τους οποίους και ευχαριστώ θερμά!
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ.2. Προστέθηκε η συνέχεια της στο θέμα Γ.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τρί Οκτ 27, 2020 4:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5248
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Θέμα Γ
(α) Είναι οπότε
Για παίρνουμε το οποίο αντίκειται στο ότι η συνάρτηση είναι μη σταθερή. Τελικά .
(β) Η γράφεται ισοδύναμα
Έστω με . Τότε:
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια . Έστω . Τότε:
Όμως άρα . Συνεπώς και
(γ) Εφόσον υπάρχει τέτοιο ώστε ενώ υπάρχει τέτοιο ώστε . Άρα για είναι και εφόσον η είναι γνησίως μονότονη έπεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
(δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Το αποτέλεσμα έπεται από Bolzano σε συνδυασμό με το ερώτημα (γ).
Υ.Σ: Τώρα που το ξανά βλέπω δε θα 'πρεπε να δίδεται η συνεχής;
(α) Είναι οπότε
Για παίρνουμε το οποίο αντίκειται στο ότι η συνάρτηση είναι μη σταθερή. Τελικά .
(β) Η γράφεται ισοδύναμα
Έστω με . Τότε:
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια . Έστω . Τότε:
Όμως άρα . Συνεπώς και
(γ) Εφόσον υπάρχει τέτοιο ώστε ενώ υπάρχει τέτοιο ώστε . Άρα για είναι και εφόσον η είναι γνησίως μονότονη έπεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
(δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Το αποτέλεσμα έπεται από Bolzano σε συνδυασμό με το ερώτημα (γ).
Υ.Σ: Τώρα που το ξανά βλέπω δε θα 'πρεπε να δίδεται η συνεχής;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Σωστό. Το συμπληρώνω. Ευχαριστώ για τη λύση Τόλη.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Οκτ 27, 2020 2:24 pmΥ.Σ: Τώρα που το ξανά βλέπω δε θα 'πρεπε να δίδεται η συνεχής;
Ένας τρόπος για το ερώτημα (δ) στο ΘΕΜΑ Γ είναι αυτός που αναφέρει περιγραφικά ο Τόλης πιο πάνω. Ας δώσω μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση που χρησιμοποιεί το σύνολο τιμών της από το ερώτημα (β).
Έχουμε ότι για κάθε πραγματικό είναι . Αφού η έχει σύνολο τιμών το θα υπάρχουν ώστε και . Άρα για την συνεχή συνάρτηση ισχύει και άρα από Bolzano έχουμε την ύπραξη της ρίζας. Τώρα η μοναδικότητα έρχεται από τη μονοτονία όπως γράφει ο Τόλης παραπάνω.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τρί Οκτ 27, 2020 4:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5248
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Βεβαια ισχύει η πρόταση + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Όχι Τόλη δεν ήθελα κάτι τέτοιο.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Οκτ 27, 2020 4:15 pmΒεβαια ισχύει η πρόταση + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5248
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Οκτ 27, 2020 4:15 pmΒεβαια ισχύει η πρόταση + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;
Λάθος, το πα. Συνεχής και = γνησίως μονότονη.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Πέμ Αύγ 27, 2020 9:00 pm
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Το ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση ,
αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Παναγιώτης Ηλιόπουλος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5248
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Χμμ... μάλλον κάποιο πρόβλημα υπάρχει και εδώ. Ας μας πει ο Μάριος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Γεια σου Παναγιώτη. Θα δώσω υπόδειξη. Αρχικά αξιοποίησε τα ερωτήματα παραπάνω υπάρχει λόγος που ζητούνται. Δεύτερον, λύνεται η εξίσωση αλγεβρικά αν όχι είσαι Γ' λυκείου πώς θα το έλυνες. Κάνε μαντεψιά. Ό,τι θες ρωτάς.ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 amΤο ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση ,
αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Δεν υπάρχει πρόβλημα Τόλη.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Οκτ 28, 2020 8:10 amΧμμ... μάλλον κάποιο πρόβλημα υπάρχει και εδώ. Ας μας πει ο Μάριος.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
και λόγω μονοτονίας δεν έχει άλλη ρίζα (η μαντεψιά που γράφει ο Μάριος).ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 amΤο ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση ,
αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Παναγιώτη υπήρξε κάποια πρόοδος με το ερώτημα;ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 amΤο ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση ,
αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Πέμ Αύγ 27, 2020 9:00 pm
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
Ναι κύριε Βόβο, το έλυσα. Οι λύσεις είναι οι μοναδικές γιατί η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στα επιμέρους διαστήματα.
Απλώς, μετά την υπόδειξή σας θεώρησα περιττό να βάλω λύση.
Απλώς, μετά την υπόδειξή σας θεώρησα περιττό να βάλω λύση.
Παναγιώτης Ηλιόπουλος
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
ΘΕΜΑ Α
Α1) Θεωρία
Α2) Θεωρία
Α3) α) Ψ β) π.χ.
Α4) Λ, Λ, Λ, Σ, Σ
Α1) Θεωρία
Α2) Θεωρία
Α3) α) Ψ β) π.χ.
Α4) Λ, Λ, Λ, Σ, Σ
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο
ΘΕΜΑ Β
(Β1) Πρέπει και .
Επομένως, και . Άρα, οι δεν είναι ίσες. Για κάθε έχουμε ότι:
Άρα, στο εν λόγω διάστημα οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες και μάλιστα το συγκεκριμένο διάστημα είναι και το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του , που αυτές είναι ίσες.
(Β2) Έχουμε ότι: Άρα .
Επιπλέον: και άρα .
Επίσης, .
Άρα, οι δύο συναρτήσεις έχουν ίδια πεδία ορισμού και ίδιο τύπο άρα είναι ίσες.
(Β3) i. Έστω , . Η απόσταση του από την αρχή των αξόνων δίνεται από τη σχέση:
ii. Για κάθε έχουμε ότι , άρα άρτια.
Για κάθε με . Τότε και . Άρα,
. Άρα, γνησίως φθίνουσα στο .
Όμοια, για με είναι . Άρα, γνησίως αύξουσα στο .
iii. Για από το προηγούμενο ερώτημα η είναι άυξουσα άρα και . .
Για από το προηγούμενο ερώτημα η είναι φθίνουσα άρα και .
Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το ή το .
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ. Μένει η λύση στο ΘΕΜΑ Δ. Θα αφήσω μερικές μέρες ακόμα μήπως κάποιος μαθητής ή συνάδελφος θέλει να μοιραστεί τη λύση του.
(Β1) Πρέπει και .
Επομένως, και . Άρα, οι δεν είναι ίσες. Για κάθε έχουμε ότι:
Άρα, στο εν λόγω διάστημα οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες και μάλιστα το συγκεκριμένο διάστημα είναι και το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του , που αυτές είναι ίσες.
(Β2) Έχουμε ότι: Άρα .
Επιπλέον: και άρα .
Επίσης, .
Άρα, οι δύο συναρτήσεις έχουν ίδια πεδία ορισμού και ίδιο τύπο άρα είναι ίσες.
(Β3) i. Έστω , . Η απόσταση του από την αρχή των αξόνων δίνεται από τη σχέση:
ii. Για κάθε έχουμε ότι , άρα άρτια.
Για κάθε με . Τότε και . Άρα,
. Άρα, γνησίως φθίνουσα στο .
Όμοια, για με είναι . Άρα, γνησίως αύξουσα στο .
iii. Για από το προηγούμενο ερώτημα η είναι άυξουσα άρα και . .
Για από το προηγούμενο ερώτημα η είναι φθίνουσα άρα και .
Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το ή το .
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ. Μένει η λύση στο ΘΕΜΑ Δ. Θα αφήσω μερικές μέρες ακόμα μήπως κάποιος μαθητής ή συνάδελφος θέλει να μοιραστεί τη λύση του.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες