Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi  \\\\  
2018, &x=\pi   
\end{matrix}\right.}
α) Να εξετάσετε αν η f:

i) είναι συνεχής στο (0,\pi ].
ii) παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right ) και B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).
ii) *

Φιλικά,
Μάριος


*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Παρ Σεπ 22, 2017 9:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm


ii) Υπάρχει μοναδικό y\in (0,\pi) τέτοιο, ώστε:

\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 22, 2017 9:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm


ii) Υπάρχει μοναδικό y\in (0,\pi) τέτοιο, ώστε:

\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.
Σωστό Σταύρο. Έπεται διόρθωση!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi  \\\\  
2018, &x=\pi   
\end{matrix}\right.}
α) Να εξετάσετε αν η f:

i) είναι συνεχής στο (0,\pi ].
ii) παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right ) και B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).
ii) *

Φιλικά,
Μάριος


*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!
...δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα που υπάρχουν...

α) i)Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ συνεχών και εξετάζουμε στο \pi , βρίσκοντας το όριο

\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sin x}=+\infty

(αφού \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=0,\,\,\sin x>0,\,\,x<\pi ) άρα είναι ασυνεχής στο \pi .

ii) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}

β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}=x\Leftrightarrow x\sin x-1=0

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (0,\pi ).Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=x\sin x-1,\,\,x\in [0,\,\pi ] που είναι συνεχής ,

ισχύουν ότι g(0)=-1<0,\,\,g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2},\,g(\pi )=-1<0 άρα g(0)g(\frac{\pi }{2})<0,\,\,g(\pi )g(\frac{\pi }{2})<0

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2})\,,\,{{x}_{2}}\in (\frac{\pi }{2},\,\pi ) ώστε

g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0. Τώρα η εξίσωση g(x)=0\Leftrightarrow x\sin x-1=0\Leftrightarrow \sin x-\frac{1}{x}=0,\,\,x\in (0,\,\pi )

και έστω ότι έχει τρεις ρίζες {{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}} τότε στα διαστήματα

[{{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}]για την συνάρτηση h(x)=\sin x-\frac{1}{x}επειδή h({{\rho }_{1}})=h({{\rho }_{2}})=h({{\rho }_{3}})=0

και h παραγωγίσιμη με {h}'(x)=\cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}} σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η {h}' θα έχει δύο ρίζες

{{\xi }_{1}}\in ({{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}),\,\,{{\xi }_{2}}\in ({{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}) και επειδή η {h}' είναι παραγωγίσιμη με

{h}''(x)=-\sin x-\frac{2}{{{x}^{3}}}<0 άρα {h}' γνήσια φθίνουσα, το προηγούμενο είναι άτοπο άρα η g(x)=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) (i) Είναι {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x},\,\,\,x\in (0,\,\,\pi ) και

{f}''(x)={{\left( -\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime \prime }}=-\frac{-{{\sin }^{3}}x-\cos x\,2\sin x\,\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,\,x\in (0,\,\,\pi )

άρα η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 24, 2017 10:08 am

Επειδή f(x)=f(\pi -x) για x\in (0,\pi )

αν την θεωρήσουμε στο (0,\pi ) η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς την ευθεία x=\frac{\pi }{2}

Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στην μελέτη της.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Σεπ 24, 2017 2:43 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
α) ii) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}
Προσοχή, ζητάω αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
kfd
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Κυρ Σεπ 24, 2017 9:10 pm

Στο \pi δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης