Τύπος εμβαδού

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Στο επίπεδο δίνονται τα σημεία $A_{i}(x_{i},y_{i}),i=1,2,...n$

Θεωρούμε ότι η κλειστή πολυγωνική γραμμή $A_{1}A_{2}A_{3}....A_{n}A_{1}$
δεν τέμνει τον εαυτό της και είναι έτσι ώστε η φορά της να είναι ίδια με
την φορά των δεικτών του ωρολογίου.

Ετσι περικλείει ένα χωρίο του επιπέδου(κυρτό η μη κυρτό)

Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό αυτού του χωρίου είναι

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i}+y_{i+1})$

όπου $x_{n+1}=x_{1},y_{n+1}=y_{1}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Green για εμβαδό επίπεδου χωρίου.

Συγκεκριμένα αν $\gamma$ είναι απλή κλειστή καμπύλη κατά τμήματα λεία ,

θετικά προσανατολισμένη που περιέχει το χωρίο

τότε $\frac{1}{2}\int _{\gamma }-ydx+xdy=A(D)$

οπου A(D)

το εμβαδό του

Επειδή η καμπύλη που έχουμε έχει την φορά των δεικτών του ωρολογίου που είναι αρνητική

θα πρέπει να ολοκληρώσουμε ανάποδα.

Το ζητούμενο εμβαδό θα είναι

$E=\frac{1}{2}\sum \int_{A_{i+1}}^{A_{i}}-ydx+xdy$

Παίρνοντας παραμέτριση $x=(1-t)x_{i+1}+tx_{i},y=(1-t)y_{i+1}+ty_{i},t\in [0,1]$

υπολογίζουμε ότι $\int_{A_{i+1}}^{A_{i}}-ydx+xdy=-(x_{i}-x_{i+1})\frac{y_{i}+y_{i+1}}{2}+(y_{i}-y_{i+1})\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}$

Αθροίζοντας και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε το ζητούμενο

Στην ουσία ο τύπος προκύπτει αθροίζοντας -αφαιρώντας εμβαδά τραπεζίων.
Μπορεί ειδικά στην περίπτωση του κυρτού να γίνει απόδειξη με επαγωγή.
Στην περίπτωση του μη κυρτού και εκεί μπορεί να γίνει απόδειξη με επαγωγή αλλά
θα πρέπει να εξετασθούν κάποιες περιπτώσεις,

#4

Σταύρο, δεν είχα γράψει απόδειξη γιατί την γνώριζα ήδη. Πρόκειται για τον λεγόμενο τύπο του Gauss ή του Τοπογράφου.

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις, π.χ. στοιχειωδώς με επαγωγή.

Βλέπε εδώ

Για απόδειξη με τύπο του Green

βλέπε εδώ

Tolaso J Kos · #5

Πολύ ενδιαφέρον. Να και μία ακόμη εφαρμογή του Green που δεν είχα δει και ούτε γνώριζα. Σταύρο ευχαριστώ.

Τύπος εμβαδού

Τύπος εμβαδού

Re: Τύπος εμβαδού

Re: Τύπος εμβαδού

Re: Τύπος εμβαδού

Re: Τύπος εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση