Ισότητα με αρμονικό

Tolaso J Kos · #1

Κάτι εύκολο ....

Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{m} \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k}} = \frac{n + \mathcal{H}_n}{2}}$ όπου $\mathcal{H}_n$ ο

- οστός αρμονικός όρος. Στη συνέχεια δείξατε ότι $\mathcal{S}_{2017} > 1011$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 13, 2017 11:03 pm
Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{m} \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k}} = \frac{n + \mathcal{H}_n}{2}}$ όπου $\mathcal{H}_n$ ο - οστός αρμονικός όρος. Στη συνέχεια δείξατε ότι $\mathcal{S}_{2017} > 1011$ .

Το τρίτο άθροισμα είναι ίσο με $\frac {1}{2} l(l+1)$ , που σημαίνει ότι το δεύτερο άθροισμα αθροίζει όρους της μορφής

$\displaystyle{ \frac {2}{l(l+1)}= \frac {2}{l}-\frac {2}{l+1}}$ .

Τηλεσκοπικά ισούται $\displaystyle{\frac {2m}{m+1}}$ .

Άρα το εξωτερικό άθροισμα αθροίζει (

το πλήθος) όρους της μορφής $\displaystyle{\frac {m+1}{2m}= \frac {1}{2} + \frac {1}{2m}}$ . To ζητούμενο είναι τώρα άμεσο.

Για το τελευταίο ερώτημα θέλουμε, ισοδύναμα από το προηγούμενο, $\mathcal{H}_{2017} > 5$ . Αυτό ισχύει και με πολύ περίσσευμα αφού $\mathcal{H}_{2017} > \mathcal{H}_{200} > \ln 200 > \ln 2,8^5 > \ln e^5=5$ .

Ισότητα με αρμονικό

Ισότητα με αρμονικό

Re: Ισότητα με αρμονικό

Μέλη σε σύνδεση