Σταθμικές καμπύλες

ilias91 · #1

Μπορεί κάποιος να μου λύσει τα εξής προβλήματα :

Να βρεθούν οι σταθμικές καμπύλες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y)=x-y+1$
$ii)f_{2}(x,y)=x^{2}-9y^{2}$
$iii)f_{3}(x,y)=x^{2}+y-1$

Να βρεθούν οι σταθμικές επιφάνειες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y,z)=x^{2}-9y^{2}-3z^{2}$
$ii)f_{2}(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}$

#2

ilias91 έγραψε:Μπορεί κάποιος να μου λύσει τα εξής προβλήματα :

Να βρεθούν οι σταθμικές καμπύλες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y)=x-y+1$
$ii)f_{2}(x,y)=x^{2}-9y^{2}$
$iii)f_{3}(x,y)=x^{2}+y-1$

Να βρεθούν οι σταθμικές επιφάνειες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y,z)=x^{2}-9y^{2}-3z^{2}$
$ii)f_{2}(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}$

Υπόδειξη: Ψάχνουμε τις καμπύλες (για διάφορα σταθερά c) της μορφής f(x,y) = c.
Π.χ. θα βρείς ότι

α) x-y+1 = c , δηλαδή y = x + (1-c) είναι ευθείες,

β) x^{2}-9y^{2} = c είναι ελλείψεις, η μία μέσα στην άλλη,

και λοιπά.

ilias91 · #3

Ευχαριστώ πάρα πολύ !! Αλλά αν μου δίνεται και τις απαντήσεις των άλλων θα με βοηθούσατε πάρα πολύ.

#4

ilias91 έγραψε:Μπορεί κάποιος να μου λύσει τα εξής προβλήματα :

Να βρεθούν οι σταθμικές καμπύλες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y)=x-y+1$
$ii)f_{2}(x,y)=x^{2}-9y^{2}$
$iii)f_{3}(x,y)=x^{2}+y-1$

Να βρεθούν οι σταθμικές επιφάνειες των συναρτήσεων
$i)f_{1}(x,y,z)=x^{2}-9y^{2}-3z^{2}$
$ii)f_{2}(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}$

Για το iii) x^2+y-1=c

άρα

άρα παραβολές.

Για την 1η επιφάνεια: x^2-9y^2-3z^2=c

άρα

αν c>0

τότε γράφεται: $\displaystyle\left(\frac{x}{\sqrt{c}}\right)^2-\left(\frac{y}{\frac{\sqrt{c}}{3}}\right)^2-\left(\frac{z}{\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{3}}}\right)^2=1$ δηλαδή πρόκειται για ελλειπτικά υπερβολοειδή (τα οποία αποτελούνται από δύο κομμάτια - δίχωνο υπερβολοειδές).

Εαν c<0

τότε

άρα η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle-\left(\frac{x}{\sqrt{-c}}\right)^2+\left(\frac{y}{\frac{\sqrt{-c}}{3}}\right)^2+\left(\frac{z}{\frac{\sqrt{-c}}{\sqrt{3}}}\right)^2=1$ άρα πρόκειται για σύνολο από ελλειπτικά υπερβολοειδή (τα οποία όμως αποτελούνται από ένα κομμάτι - μονόχωνο υπερβολοειδές).

Εάν c=0

τότε πρόκειται για κώνο (στο χώρο).

Τέλος για τη δεύτερη επιφάνεια με 2x^2+y^2=c

(φυσικά $c\geq 0$ ).

Αν c=0

τότε πρόκειται για μία ευθεία στο χώρο την $(0,0,z), \ z\in\mathbb{R}$
Αν c>0

τότε πρόκειται για ελλειπτικούς κυλίνδρους.

Αλέξανδρος

#5

Στο συνημμένο έχεις μερικές εικόνες

Σταθμικές καμπύλες

Σταθμικές καμπύλες

Re: Σταθμικές καμπύλες

Re: Σταθμικές καμπύλες

Re: Σταθμικές καμπύλες

Re: Σταθμικές καμπύλες

Μέλη σε σύνδεση