int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

#1

$\displaystyle\int{\frac{\arctan{x}}{x^2\left({1+x^2}\right)}\,dx}$

[ γιά τό οποίο έχω μιά σύντομη επίλυση ]

#2

Λήμμα : Ισχύει $\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {{x\left( {x^2 + 1} \right)}} = \frac{1} {x} - \frac{x} {{x^2 + 1}}(1) }$ (την απόδειξη τη ...χρωστάω!)
Έχουμε :

$\displaystyle{\displaystyle \int {\frac{{\arctan x}} {{x^2 \left( {1 + x^2 } \right)}}} dx = \int {\arctan x\left( {\frac{1} {{x^2 }} - \frac{1} {{1 + x^2 }}} \right)dx = \int {\arctan x\frac{1} {{x^2 }}} } dx - \int {\arctan x\frac{1} {{1 + x^2 }}} dx = \int {\arctan x\left( { - \frac{1} {x}} \right)} ^{\prime}dx - \frac{{(\arctan x)^2 }} {2} = - \frac{{\arctan x}} {x} + \int {\frac{1} {{x\left( {1 + x^2 } \right)}}} dx - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} {2}\mathop = \limits^{(1)} - \frac{{\arctan x}} {x} - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} {2} + \int {(\frac{1} {x} - \frac{x} {{1 + x^2 }})dx = - \frac{{\arctan x}} {x}} - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} {2} + \ln |x| - \frac{{\ln (1 + x^2 )}} {2} + c }$ .
Y.Γ Εσβησα το αρχικό post γιατί ξέχασα να αντικαταστήσω ένα χ. Η βιασύνη και το τσiπουρο αυτά κάνουν! Συγνώμη..

giannisn1990 · #3

Αν θέσουμε $\displaystyle x=\tan y$ με $y \in (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ τότε $\displaystyle dx=(1+\tan ^{2} y)dy$ και το ολοκλήρωμα γράφετε $\displaystyle I=\int \frac{y\cdot (1+\tan ^{2} y)}{\tan ^{2} y\cdot (1+\tan ^{2} y)}\,dy=\int y\cdot (\cot^{2} y)\,dy=\int y(1+\cot^{2} y)-y\,dy=-\int y\,d(\cot y)-\frac{y^{2}}{2}=-y\cdot \cot y+\int\cot y \,dy-\frac{y^{2}}{2}=-y\cdot \cot y-\frac{y^{2}}{2}+\ln|\sin y|+c=-\frac{\arctan x}{x}-\frac{\arctan ^{2} x}{2}+\ln|\sin \arctan x|+c$

#4

Χωρίς νά διαφέρει ουσιαστικά από αυτήν τού giannisn1990 είναι η παρακάτω επίλυση:
Θέτωντας $x=\tan{\theta}$ , προκύπτουν $\arctan{x}=\theta$ καί $\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\,dx=d\theta$ .
Επομένως $\displaystyle\int{\frac{\arctan{x}}{x^2\left({1+x^2}\right)}\,dx}=\int{\frac{\theta}{\tan^2{\theta}}\,d\theta}=\int{\frac{\theta}{\tan^2{\theta}}+\theta-\theta\,d\theta}=$
$\displaystyle\int{\theta\,\frac{1+\tan^2{\theta}}{\tan^2{\theta}}\,d\theta}-\int{\theta\,d\theta}=-\int{\theta\left({\frac{1}{\tan{\theta}}}\right)^{\prime}d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=$
$\displaystyle-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\int{({\theta})^{\prime}\frac{1}{\tan{\theta}}\,d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\int{\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\,d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=$
$\displaystyle-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\ln|{\sin{\theta}}|-\frac{\theta^2}{2}+c=-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\ln\left|{\tfrac{\tan{\theta}}{\sqrt{1+\tan^2{\theta}}}}\right|-\frac{\theta^2}{2}+c\stackrel{x=\tan{\theta}}{=}$
$\displaystyle-\frac{\arctan{x}}{x}+\ln\left|{\tfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\right|-\frac{\arctan^2{x}}{2}+c=$
$\displaystyle-\frac{\arctan{x}}{x}-\frac{\arctan^2{x}}{2}+\ln\left|{x}\right|-\frac{1}{2}\,\ln\left({1+x^2}\right)+c.\quad\square$

int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

Μέλη σε σύνδεση