ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

To γενικευμένο ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-cosx}{x^{2}}dx$

είναι ίσο με τη $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( -1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left( 2n-1 \right)(2n)!}$

Tolaso J Kos · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 11, 2026 3:32 pm
To γενικευμένο ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-cosx}{x^{2}}dx$

είναι ίσο με τη $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( -1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left( 2n-1 \right)(2n)!}$

Έχουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1 - \cos x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{\cos x - 1}{x} \right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x}$
Χρησιμοποιώντας $\displaystyle{\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ πρέπει να παίρνουμε το αποτέλεσμα, αλλά δε το κοίταξα.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 11, 2026 5:25 pm
Έχουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1 - \cos x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{\cos x - 1}{x} \right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x}$
Χρησιμοποιώντας $\displaystyle{\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ πρέπει να παίρνουμε το αποτέλεσμα, αλλά δε το κοίταξα.

Τόλη, σωστά αλλά δεν χρειάζεται να κάνεις δύο βήματα για το αποτέλεσμα, συγκεκριμένα ολοκλήρωση κατά παράγοντες και μετά όρο προς όρο ολοκλήρωση. Μπορείς απευθείας.

Ας σημειώσω όμως ότι ουσιαστικό μέρος της απόδειξης είναι η τεκμηρίωση της εναλλαγής της σειράς με το ολοκλήρωμα. Χωρίς αυτό η απόδειξη έχει κενό. Βλέπε περί αυτού εδώ

Παρακάτω θα βάλω πλήρη απόδειξη (σε ένα βήμα).

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 11, 2026 3:32 pm
To γενικευμένο ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-cosx}{x^{2}}dx$

είναι ίσο με τη $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( -1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left( 2n-1 \right)(2n)!}$

Eίναι

$\displaystyle{ \dfrac {1-\cos x}{x^2} = \dfrac {1-\sum _{n=0} ^{\infty} \dfrac {(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} }{x^2}} = \dfrac {\sum _{n=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}}}$

$\displaystyle{=\sum _{n=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(2n)!}}$ (*)

Τώρα, για $0\le x\le 1$ έχουμε

$\displaystyle{\left | \dfrac {(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(2n)!} \right | \le \dfrac {|x|^{2n-2}}{(2n)!} \le \dfrac {1}{(2n)!}}$

και η σειρά $\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} \dfrac {1}{(2n)!}}$ συγκλίνει (από το κριτήριο λόγου), το M-test του Weierstrass μας εξασφαλίζει ότι η σειρά (*) συγκλίνει ομοιόμορφα. Συνεπώς επιτρέπεται η εναλλαγή της σειράς με το ολοκλήρωμα. Θα βρούμε

$\displaystyle{I= \int _0^1\sum _{n=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(2n)!}= \sum _{n=1} ^{\infty} \int _0^1 \dfrac {(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(2n)!}=\sum _{n=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}}{(2n-1)(2n)!}}$

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Μιχάλη , σε ευχαριστώ για τη λύση. Ο σκοπός που πρότεινα αυτό το θέμα είναι η ανάδειξη της ομοιόμορφης σύγκλισης. Αυτής της τόσο όμορφης και συνάμα χρήσιμης έννοιας.

ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΕΙΡΑ IΣΗ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Μέλη σε σύνδεση