Τύπος ολοκλήρωσης

Tolaso J Kos · #1

Βάζω σε ξεχωριστό θέμα το παρακάτω για να το συζητήσουμε με την άνεση και τα εργαλεία που πρέπει καθώς ο Ολοκληρωτικός Λογισμός του Λυκείου δεν είναι για αυτόν το λόγο.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 8:46 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 12:59 am

$\displaystyle{ ... \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cot x \, \mathrm{d}x= 2 \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\pi/2} x^2 \sin 2n x \, \mathrm{d}x$

Χάνω κάτι; Πρώτα απ' όλα η σειρά αποκλίνει, εδώ $\cot x = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \sin 2n x$ . Άσε που σε αποκλίνουσα σειρά έγινε εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης. Είτε κάπου υπάρχει τυπογραφική αβλεψία ή κάτι δεν βλέπω.

Μιχάλη,

σωστή η παρατήρησή σου. Είναι μία τεχνική που εφαρμόζεται ευρέως. Η ταυτότητα είναι ακόλουθο του distributional Fourier expansion της $\cot$ . Μπορώ να ψάξω να βρω λεπτομέρειες αλλά η αλήθεια είναι τόσα χρόνια την εφαρμόζω τυφλοσούρτι ... καθώς μου βγάζει αποτελέσματα, οπότε δεν είχα πότε σκεφτεί αυτά που ανέφερες στο μήνυμά σου.

Υπάρχει και η αντίστοιχη ταυτότητα:

$\displaystyle{\int_{a}^{b} p(x) \csc x \, \mathrm{d}x = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} p(x) \sin \left( 2n+1 \right)x \, \mathrm{d}x }$

Για παράδειγμα εδώ γίνεται αναφορά της ταυτότητας από τον Random Variable σε ένα post που πάει πίσω στο 2014

. Εκεί αναφέρεται ότι είναι απόρροια του Riemann-Lebesgue.

Tolaso J Kos · #2

Μιχάλη,

δε νομίζω ότι γίνεται εναλλαγή του ολοκληρώματος με τη σειρά παραπάνω. Καταρχάς, η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \sin 2nx$ δεν είναι η σειρά Fourier της $\cot$ . Αν πάρουμε μερικό άθροισμα, έχουμε π.χ

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N} \sin 2n x &= \sum_{n = 0}^{N} e^{2inx} \\ &= \frac{e^{2i(N+1)x}-1}{e^{2ix}-1} \\ &= \frac{e^{(2N+1)ix} - e^{-ix}}{e^{ix} - e^{-ix}} \\ &= \frac{e^{(2N+1)ix} - e^{-ix}}{2i\sin x} \\ &= \frac{\mathfrak{Re}\bigl(e^{-ix} - e^{(2N+1)ix}\bigr)}{2\sin x} \\ &= \frac{\cos x - \cos \bigl((2N+1)x\bigr)}{2\sin x} \end{aligned}}$
Οπότε,

$\displaystyle{2\sum_{n = 1}^{N} \int_{a}^{b} p(x) \sin 2n x \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} p(x)\cot x\, \mathrm{d}x - \int_{a}^{b} \frac{p(x)}{\sin x}\cos \bigl((2N+1)x\bigr)\, \mathrm{d}x }$
Μένει να ελέγξουμε οτι το τελευταίο ολοκλήρωμα, τείνει στο

, καθώς $N \rightarrow +\infty$ το οποίο ισχύει αν στο [a, b]

δε περιέχονται ρίζες του $\sin x$ ή $p(n \pi) =0$ για κάθε $n \pi \in [a, b]$ . Αυτά σε μία πρώτη ανάγνωση. Θα ήθελα τη γνώμη σου.

Πάντως είναι τύπος ξεκρέμαστος τον οποίον χρησιμοποιώ χρόνια καθώς αναφέρεται συχνά πυκνά ως τεχνική και δεν είχα ποτέ ασχοληθεί να δω πώς και τι. Να η ευκαιρία. Ενδιαφέρον έχει να δούμε βέβαια τι συμβαίνει στη περίπτωση της PV του ολοκληρώματος.

Tolaso J Kos · #3

Να κάνουμε και μία εφαρμογή. Για παράδειγμα να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \left( \pi - x \right)}{\tan x} \, \mathrm{d}x }$ .

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \left( \pi - x \right)}{\tan x} \, \mathrm{d}x & = \int_{0}^{\pi} x^2 \left( \pi - x \right) \cot x \, \mathrm{d}x \\ & = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\pi} x^2 \left( \pi - x \right) \sin 2nx \, \mathrm{d}x \\ & = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( 3 - 2 \pi^2 n^2 \right) \sin 2\pi n - 2 \pi n - 4 \pi n \cos 2 \pi n }{8n^4} \\ & = - \frac{3 \pi}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = - \frac{3 \pi}{2} \zeta(3) \end{aligned}}$
το οποίο συμφωνεί αριθμητικά με W|A. Πάντως, την ακριβή τιμή δεν τη βγάζει το W|A. Βλέπουμε όμως ότι ο τύπος δούλεψε.

#4

Τόλη, τα παραπάνω θέλουν αιτιολόγιση.

Τα σχολιά μου για μία ανάλογη περίπτωση τα έγραψα εδώ.

Τύπος ολοκλήρωσης

Τύπος ολοκλήρωσης

Re: Τύπος ολοκλήρωσης

Re: Τύπος ολοκλήρωσης

Re: Τύπος ολοκλήρωσης

Μέλη σε σύνδεση