Εμβαδόν χωρίου 02

#1

Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή

των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,
τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και
τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν

,

είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα P_n

και

, να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού

και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις c_1

,

και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

: area_2logspirals.png (19.85 KiB) Προβλήθηκε 2155 φορές

#2

Νύξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 6:45 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,

τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και

τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν , είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα και , να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις , και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

Γρηγόρη καλημέρα...

Η υπόδειξη που ανάρτησες με άνοιξε ένα δρόμο...που πιστεύω

θα με βγάλει στο φως.

Αναρτώ αρχικά μια πρόταση που αφορά το ακόλουθο σχήμα:

: Συμμετρικές σπείρες και κύκλο 1.png (22.36 KiB) Προβλήθηκε 2024 φορές

Δείχνεται εύκολα ότι αν οι δυο σπείρες είναι συμμερικές ως προς την αρχή των αξόνων

τότε αυτες διαμερίζουν τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη.

Για παράδειγμα στο σχήμα έχουμε τις σπείρες:

$\displaystyle{ r=2^t, \ \ t\in [0,\pi ] }$

$\displaystyle{ r=-2^t, \ \ t \in [0,\pi] }$

οι οποίες προφανώς είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων.

Έτσι το γραμμοσκιασμένο τμήμα του κύκλου είναι το μισό του αρχικού κύκλου

κι έτσι το εμβαδόν του τμήματος αυτού είναι ισούται με το εμβαδόν του ημικυκλίου.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 6:45 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,

τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και

τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν , είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα και , να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις , και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

(Συνέχεια...)

Αναρτώ το ακόλουθο σχήμα με την εικόνα αυτών των σπειροειδών καθώς και την

ενδιάμεση περιοχή.

: Σπείρα 1.png (63.61 KiB) Προβλήθηκε 1957 φορές

Μετα από το σχήμα αυτοό παρατηρούμε το δεύτερο σχήμα:

: Σπείρα 2.png (46.43 KiB) Προβλήθηκε 1957 φορές

Στο δεύτερο αυτό σχήμα σημειώνεται και ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων

και ακτίνα ίση με $\displaystyle{(OP_n) }$

Σύμφωνα με την δεύτερη ανάρτησή μου, το μέρος των δυο αυτών σπειρών

που βρίσκονται εντός του κύκλου, χωρίζουν τον κύκλο αυτό σε δυο ισοδύναμα μέρη.

Έτσι το καθένα είναι ισοδύναμο με το ημικύκλιο του κύκλου αυτού.

Επομένως για να βρούμε το συνολικό εμβαδόν του χωρίου που

περιέχεται ανάμεσα από τις δυο αυτές σπείρες θα πρέπει να

προσθέσουμε στο εμβαδόν του τμήματος του χωρίου αυτού το οποίο βρίσκεται

εξωτερικά του κύκλου, το εμβαδόν του ημικυκλίου.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#5

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 6:45 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,

τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και

τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν , είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα και , να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις , και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

Καλημέρα...

Πριν πάμε στο υπολογιστικό μέρος κι αφού περιγράψαμε τον τρόπο

εύρεσης του εμβαδού αυτού, ας δούμε κάτι ακόμα για τη συμμετρικότητα

των δυο αυτών σπειρών για κάποια γωνία, όπως φαίνεται στο ακόλουθο

σχήμα:

: Συμμετρία σπειρών 1.png (24.99 KiB) Προβλήθηκε 1893 φορές

Στο δυναμικό σχήμα που παραθέτω μπορείτε να δείτε τη στροφή

της "κόκκινης" σπείρας γύρω από την αρχή $\displaystyle{O}$ κατά γωνία ίση

με $\displaystyle{180^o}$ και η οποία συμπίπτει με τη μελανή σπείρα.

https://www.geogebra.org/m/vnbm7ndc

Κώστας Δόρτσιος

#6

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 6:45 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,

τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και

τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν , είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα και , να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις , και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

(Συνέχεια...)

Καλησπέρα...

Τα σημεία $\displaystyle{P_n}}$ και $\displaystyle{Q_n}$ έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες:

$\displaystyle{P_n=((-1+a^\frac{2j}{\pi})cos(j), (-1+a^\frac{2j}{\pi})sin(j)), \ \ j=2(n-1)\pi+\omega, \ \ n=1,2,3,,,,,}$

$\displaystyle{Q_n=((1-a^\frac{2i}{\pi})cos(i), (1-a^\frac{2i}{\pi})sin(i)), \ \ i=(2n-1)\pi+\omega, \ \ n=1,2,3,...}$

και εμφανίζονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Σπείρες 5.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 1842 φορές

ή ακόμα στο ακόλουθο:

: Σπείρες 6.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 1842 φορές

Δείτε αυτά στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/bbtdjsnk

(Συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος

#7

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 6:45 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , και $\gamma_2({t})=\big({({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({1-\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$ , $t\in[{0,+\infty})$ , όπου $\alpha\in({1,+\infty})$ .

Θεωρούμε τυχούσα ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων η οποία

σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα , γωνία $\omega$ , με $0\leqslant\omega<\pi$ ,

τέμνει την σπείρα $\gamma_1$ στα σημεία , , , . . . , $P_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής, και

τέμνει την σπείρα $\gamma_2$ στα σημεία , , , . . . , $Q_{n}$ , . . . , αρχομένης της αρίθμησης των σημείων τομής από την αρχή των αξόνων, αλλά μη συμπεριλαμβανομένης αυτής.

Αν , είναι τα τμήματα των καμπυλών $\gamma_1$ , $\gamma_2$ με αντίστοιχα πέρατα τα και , να εκφραστεί, συναρτήσει του $\alpha$ , του φυσικού και της γωνίας $\omega$ , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις , και το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{P_{n}Q_{n}}$ . (Σχήμα)

(Τελευταίο...)

Καλημέρα...

Θα υπολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν, δηλαδή το εμβαδόν που περικλείουν οι δυο αυτές σπείρες.

Σχήμα 1ο

: Εμβαδόν 10.png (21.16 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Όπως ανάφέρθηκε στα προηγούμενα μηνύματα το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ημικυκλίου είναι

ισοδύναμο με το εμβαδόν που περικλείουν τα τμήματα των δυο συμμετρικών σπειρών που περιέχονται σ΄αυτό.

Σχήμα 2ο

: Εμβαδόν 11.png (31.36 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Μένει να προστεθεί και το μέρος εκείνο του εμβαδού που περιέχεται από τις δυο αυτές σπείρες οι οποίες

βρίσκονται εκτός του ημικυκλίου και μέχρι το τμήμα $\displaystyle{P_nQ_n}$ . (Ένα σφηνοειδές τμήμα)

Σχήμα 3

: Εμβαδόν 12.png (33.71 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Θα πρέπει λοιπόν να βρούμε το εμβαδόν του ανωτέρω τμήματος που είναι το εμβαδόν που περικλείεται από το

τμήμα της σπείρας:

$\displaystyle{r_2=(1-a^{\frac{2t}{\pi} }),\ \ k\leq t \leq l \ \ (1) }$

όπου:

$\displaystyle{k=2(n-1)\pi+\omega }$

και

$\displaystyle{l=(2n-1)\pi+\omega }$

Έτσι το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}\int_k^l (r_2)^2dt \ \ (2) }$

Το ολοκλήρωμα (2) είναι εύκολο και υπολογίζεται απλά.

Τελικά είναι:

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}\pi-\frac{\pi}{2lna}(a^{\frac{2l}{\pi}}-a^{\frac{2k}{\pi}})+\frac{\pi}{8lna}(a^{\frac{4l}{\pi}}-a^{\frac{4k}{\pi}}) \ \ (3) }$

Ο τύπος αυτός (3) δίνει το συνολικό εμβαδόν που περιέχεται από τις δυο αυτές σπείρες από την αρχή των αξόνων μέχρι και το

πέρας αυτών επί της ευθείας η οποία σχηματίζει με το θετικό άξονα των τετμημένων γωνία ίση με $\displaystyle{\omega}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Εμβαδόν χωρίου 02

Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Re: Εμβαδόν χωρίου 02

Μέλη σε σύνδεση