Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων μὲ ὁμαλὴ συνάρτηση ροῆς

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

[b]Πρόταση.[/b] Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχῶς διαφορίσιμη, καὶ $\varphi : I\to\mathbb R,$ ὅπου

ἀνοικτὸ διάστημα, λύση τῆς ἐξισώσεως x'=f(x)

. Τότε ἡ $\varphi$ εἴτε εἶναι γνησίως μονότονη στὸ

εἴτε σταθερή στὸ

.

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τετ Απρ 16, 2025 11:32 am
Πρόταση. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχῶς διαφορίσιμη, καὶ $\varphi : I\to\mathbb R,$ ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα, λύση τῆς ἐξισώσεως . Τότε ἡ $\varphi$ εἴτε εἶναι γνησίως μονότονη στὸ εἴτε σταθερή στὸ .

.
Θα θεωρώ ως δεδομένο ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Πιστεύω να είναι σωστό αυτό, και ότι μας το λέει η θεωρία, αλλά αυτή την στιγμή δεν μπορώ να το αποδείξω. Από εκεί και πέρα:

1η περίπτωση: Έστω ότι για την λύση $\phi$ υπάρχει $t_0\in I$ τέτοιο ώστε $f(\phi(t_0)) =0$ .

Παρατηρούμε τότε ότι η σταθερή συνάρτηση $\psi (t) =\phi(t_0)$ για κάθε $t\in I$ ικανοποιεί την εξίσωση x'=f(x)

(και τα δύο μέλη μηδενίζονται). Από την μοναδικότητα της λύσης η $\psi (t)$ είναι η λύση, και μάλιστα σταθερή, όπως θέλαμε να δείξουμε.

2η περίπτωση: Έστω ότι για την λύση $\phi$ και για όλα τα $t_0\in I$ ισχύει $f(\phi(t_0)) \ne 0$ .

Τότε η $f\circ \phi$ διατηρεί το πρόσημό της. Χωρίς βλάβη $f(\phi (t) )>0$ για κάθε $t\in I$ (όμοια για την περίπτωση $f(\phi (t)) <0$ ).

Τότε η εξίσωση δίνει $\phi '(t) = f( \phi (t) )>0$ . Έπεται ότι η $\phi$ είναι γνήσια αύξουσα (θετική παράγωγος). Όμοια, στην άλλη περίπτωση είναι γνήσια φθίνουσα, όπως θέλαμε.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Μιχάλη, πράγματι ἡ συνεχὴς διαφορισιμότης τῆς

ἐξασφαλίζει καθολικὴ μοναδικότητα, καὶ αὐτὸ εἶναι τὸ κλειδί!

Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων μὲ ὁμαλὴ συνάρτηση ροῆς

Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων μὲ ὁμαλὴ συνάρτηση ροῆς

Re: Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Re: Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση