Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Chris01010 · #1

Κάνω μία άσκηση και έχω καταλήξει σε αυτό το αποτέλεσμα:

$(n + 1)! \geq 2n!$

Η άσκηση ζητάει:

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η ακολουθία $a_n=\dfrac{n!}{2^n}$

Εγώ έχω κάνει αυτό μέχρι στιγμής:

$\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{(n + 1)!}{2^{n + 1}}}{\dfrac{n!}{2^n}} = \dfrac{2^n(n + 1)!}{2^{n + 1}n!} = \dfrac{(n + 1)!}{2n!} \geq 1 \Rightarrow (n + 1)! \geq 2n! \Rightarrow$

Πως μπορώ να κάνω την παραπάνω ανίσωση? Η γενικότερα, πως μπορώ να λύσω την παραπάνω άσκηση?

Giannis Masterio · #2

Εφαρμόζεις την ιδιότητα (n+k)! =n! *(n+1)*(n+2)*...*(n+k)

#3

Δεδομένου ότι η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή (τετριμμένη) θα δώσω μόνο υπόδειξη.

Στο τελευταίο βήμα εδώ:

Chris01010 έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 2:02 pm

$\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{(n + 1)!}{2^{n + 1}}}{\dfrac{n!}{2^n}} = \dfrac{2^n(n + 1)!}{2^{n + 1}n!} = \dfrac{(n + 1)!}{2n!} \geq 1 ...$

δεν χρειάζεται να επικαλεστείς αυτό που ήδη έδειξες. Τα πράγματα είναι απλά: Κάνε ότι απλοποιήσεις παραγόντων μπορείς. Αυτό που θα μείνει δίνει ΑΜΕΣΩΣ την απάντηση στο πρόβλημα.

Chris01010 · #4

Giannis Masterio έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 2:10 pm
Εφαρμόζεις την ιδιότητα (n+k)! =n! *(n+1)*(n+2)*...*(n+k)

Για ποιον λόγο ισχύει αυτή η ιδιότητα? Έχετε κάποιον σύνδεσμο με την απόδειξη?

stranger · #5

Chris01010 έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 3:11 pm

Giannis Masterio έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 2:10 pm
Εφαρμόζεις την ιδιότητα (n+k)! =n! *(n+1)*(n+2)*...*(n+k)
Για ποιον λόγο ισχύει αυτή η ιδιότητα? Έχετε κάποιον σύνδεσμο με την απόδειξη?

Η απόδειξη είναι έτοιμη.
Έχεις φτάσει στο $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{2n!} = \frac{n+1}{2} \geq 1$ .

#6

Chris01010 έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 3:11 pm

Giannis Masterio έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 2:10 pm
Εφαρμόζεις την ιδιότητα (n+k)! =n! *(n+1)*(n+2)*...*(n+k)
Για ποιον λόγο ισχύει αυτή η ιδιότητα? Έχετε κάποιον σύνδεσμο με την απόδειξη?

Αν ξέρεις τι θα πει

δεν πρέπει να έχεις καμία, μα καμία, δικαιολογία να μην μπορείς να απαντήσεις μόνος σου. Δεν χρειάζεται παραπομπή σε σύνδεσμο με την απόδειξη, δεδομένου ότι το θέμα είναι απλό. Θα σου δώσω υπόδειξη με αριθμητικό παράδειγμα για να έχεις την χαρά να το ανακαλύψεις μόνος σου.

Μπορείς να δικαιολογήσεις γιατί

$\displaystyle{\dfrac {1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5\times 6\times 7\times 8 \times 9 \times 10} {1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5\times 6\times 7} = 8 \times 9 \times 10 }$

Αν μπορείς, θα καταλάβεις και το γενικό που διατυπώθηκε παραπάνω.

Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Re: Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Re: Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Re: Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Re: Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Re: Πως λύνουμε ανισώσεις με παραγοντικά? Άσκηση ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση