Ορισμένο ολοκλήρωμα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 10:59 pm
Υπολογίστε το $\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi /12}{\frac{{{\tan }^{2}}x-3}{3{{\tan }^{2}}x-1}}\,dx$

Γενικότερα, ας κάνουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

$\displaystyle I=\int \frac{{{\tan }^{2}}x-3}{3{{\tan }^{2}}x-1}}\,dx= \int \left ( 1-\frac{2(\tan ^2 x+1) }{3{{\tan }^{2}}x-1}}\right )\,dx = x- 2 \int \frac{\tan ^2 x+1 }{3{{\tan }^{2}}x-1}}\right )\,dx$

Στο τελευταίο ολοκλήρωμα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $t=\tan x$ , οπότε γίνεται

$\displaystyle{\int \frac{dt }{3t^2-1}= \int \left (\frac{1 }{2( \sqrt 3t-1)} - \frac{1 }{2( \sqrt 3t+1)} \right )\, dt = \dfrac {1}{2\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 t-1)- \dfrac {1}{2\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 t+1) +c=$

$= \dfrac {1}{2\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 \tan x -1)- \dfrac {1}{2\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 \tan x+1) +c$ .

Όλα μαζί δίνουν $\displaystyle{I= x- \dfrac {1}{\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 \tan x -1)+ \dfrac {1}{\sqrt 3} \ln (\sqrt 3 \tan x+1) +c}$

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση